Esercizio svolto di termodinamica

Esercizio di teoria: trasformazioni elementari

Esercizio 9 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

esercizio di teoria
gas perfetto monoatomico
trasformazione isocora
trasformazione isoterma
trasformazione isobara
energia interna
lavoro
calore
primo principio

Testo

Si considerano $n$ moli di gas perfetto monoatomico, inizialmente nello stato $A(P_A,V_A,T_i)$ . Si studiano separatamente tre trasformazioni quasistatiche che partono tutte da $A$ , con $T_f>T_i$ :

$A\to B$ : riscaldamento isocoro da $T_i$ a $T_f$ ;
$A\to C$ : compressione isoterma a $T_i$ , da $V_A$ a $V_A/2$ ;
$A\to D$ : riscaldamento isobaro da $T_i$ a $T_f$ .

Si adotta la convenzione del banchiere: i trasferimenti ricevuti dal gas sono positivi.

Rappresentare le tre trasformazioni in un unico diagramma di Clapeyron $(P,V)$ e determinare formalmente gli stati $B$ , $C$ e $D$ .
Calcolare formalmente $W$ , $\Delta U$ e $Q$ per ciascuna delle tre trasformazioni.
Commentare i segni dei trasferimenti di energia.
Applicazione numerica: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ e $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Suggerimento

Per un gas perfetto monoatomico,

\Delta U=\frac32nR\Delta T

. Usare

W=-\int P\,\mathrm{d}V

e il primo principio

\Delta U=Q+W

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. L'equazione dei gas perfetti dà

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Stato} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

Nel diagramma $(P,V)$ , $A\to B$ è una verticale, $A\to C$ segue l'isoterma $T_i$ verso sinistra e $A\to D$ è un'orizzontale verso destra.

Domanda 2.

Riscaldamento isocoro $A\to B$ . Poiché $\mathrm{d}V=0$ ,

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

Compressione isoterma $A\to C$ . La temperatura è costante, quindi $\Delta U_{AC}=0$ . Inoltre,

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

Riscaldamento isobaro $A\to D$ . A pressione costante, $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ , quindi

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

Domanda 3. Nell'isocora, tutto il calore ricevuto aumenta l'energia interna. Durante la compressione isoterma, il gas riceve lavoro e cede esattamente la stessa energia sotto forma di calore. Nell'isobara, il gas riceve calore, aumenta la propria energia interna e fornisce lavoro espandendosi.

Domanda 4. Con $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Trasformazione} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{Isocora }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{Isoterma }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{Isobara }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}