Esercizio svolto di termodinamica

Esercizio di teoria: trasformazioni elementari

Esercizio 17 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

esercizio di teoria
gas perfetto monoatomico
trasformazione isocora
trasformazione isoterma
trasformazione isobara
energia interna
lavoro
calore
primo principio

Testo

Si considerano $n$ moli di gas perfetto monoatomico, inizialmente nello stato $A (P_{A}, V_{A}, T_{i})$ . Si studiano separatamente tre trasformazioni quasistatiche che partono tutte da $A$ , con $T_{f} > T_{i}$ :

$A \to B$ : riscaldamento isocoro da $T_{i}$ a $T_{f}$ ;
$A \to C$ : compressione isoterma a $T_{i}$ , da $V_{A}$ a $V_{A} /2$ ;
$A \to D$ : riscaldamento isobaro da $T_{i}$ a $T_{f}$ .

Si adotta la convenzione del banchiere: i trasferimenti ricevuti dal gas sono positivi.

Rappresentare le tre trasformazioni in un unico diagramma di Clapeyron $(P, V)$ e determinare formalmente gli stati $B$ , $C$ e $D$ .
Calcolare formalmente $W$ , $Δ U$ e $Q$ per ciascuna delle tre trasformazioni.
Commentare i segni dei trasferimenti di energia.
Applicazione numerica: $n = 1 mol$ , $T_{i} = 300 K$ , $T_{f} = 500 K$ e $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Suggerimento

Per un gas perfetto monoatomico,

Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T

. Usare

W = - \int P d V

e il primo principio

Δ U = Q + W

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. L'equazione dei gas perfetti dà

Stato A B C D P P_{A} P_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} 2 P_{A} P_{A} V V_{A} V_{A} \frac{V _{A}}{2} V_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} T T_{i} T_{f} T_{i} T_{f}

Nel diagramma $(P, V)$ , $A \to B$ è una verticale, $A \to C$ segue l'isoterma $T_{i}$ verso sinistra e $A \to D$ è un'orizzontale verso destra.

Domanda 2. Riscaldamento isocoro

A \to B

. Poiché

d V = 0

W_{A B} = 0, Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Compressione isoterma $A \to C$ . La temperatura è costante, quindi $Δ U_{A C} = 0$ . Inoltre,

W_{A C} = - \int_{V_{A}}^{V_{A} /2} \frac{n R T _{i}}{V} d V = n R T_{i} ln 2, Q_{A C} = - n R T_{i} ln 2.

Riscaldamento isobaro $A \to D$ . A pressione costante, $P_{A} (V_{D} - V_{A}) = n R (T_{f} - T_{i})$ , quindi

W_{A D} = - n R (T_{f} - T_{i}), Δ U_{A D} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A D} = \frac{5}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Domanda 3. Nell'isocora, tutto il calore ricevuto aumenta l'energia interna. Durante la compressione isoterma, il gas riceve lavoro e cede esattamente la stessa energia sotto forma di calore. Nell'isobara, il gas riceve calore, aumenta la propria energia interna e fornisce lavoro espandendosi.

Domanda 4. Con

T_{f} - T_{i} = 200 K

Trasformazione Isocora A \to B Isoterma A \to C Isobara A \to D W (kJ) 0 + 1, 73 - 1, 66 Δ U (kJ) + 2, 49 0 + 2, 49 Q (kJ) + 2, 49 - 1, 73 + 4, 16