Esercizio svolto di termodinamica

Esercizio di teoria: leggi di Laplace

Esercizio 18 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

esercizio di teoria
legge di Laplace
indice adiabatico
gamma
espansione adiabatica
primo principio in forma differenziale

Testo

Si considerano $n$ moli di gas perfetto con indice adiabatico $γ = c_{P} / c_{V}$ supposto costante. Il sistema è considerato chiuso. Si ammette la relazione di Mayer $c_{P} - c_{V} = R$ (si veda l'esercizio sulla scoperta di $c_{P}$ ).

Mostrare che $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
Il gas subisce una trasformazione adiabatica quasistatica per la quale si suppone $P_{ext} = P$ . Partendo dal primo principio in forma differenziale, mostrare che $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ e dedurne che $T V^{γ - 1} = cost.$ lungo la trasformazione.
Dedurne le altre due forme della legge di Laplace: $P V^{γ} = cost.$ e $T^{γ} P^{1 - γ} = cost.$ .
Si consideri una tale espansione che raddoppia il volume di un gas monoatomico ( $γ = 5/3$ ), con $n = 1$ mol, alla temperatura iniziale $T_{i} = 300$ K. Calcolare $T_{f}$ , poi $Δ T$ e $W$ , e commentare i segni di $Δ T$ e di $W$ .
Nel diagramma di Clapeyron $(P, V)$ , confrontare in uno stesso punto la pendenza di una tale adiabatica con quella di un'isoterma.

Suggerimento

Per la domanda 2:

d U = n c_{V} d T

δ W = - P d V

con

P = n R T / V

, quindi separare le variabili. Per la domanda 5, differenziare

P V^{γ} = cost.

P V = cost.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Da

c_{P} = γ c_{V}

e da

c_{P} - c_{V} = R

, si ottiene

c_{V} (γ - 1) = R

, da cui le due formule. Domanda 2. Adiabatica:

δ Q = 0

, quindi

d U = δ W

, ossia

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. Con

c_{V} = R / (γ - 1)

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

Integrando: $ln T + (γ - 1) ln V = cost.$ , cioè $T V^{γ - 1} = cost.$ .

Domanda 3. Sostituendo

T = P V / (n R)

si ottiene

P V^{γ} = cost.

poiché

n

è costante. Sostituendo

V = n R T / P

, si ottiene

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = cost.

, e quindi

T^{γ} P^{1 - γ} = cost.

. Domanda 4. Il modo più semplice consiste nell'usare la legge di Laplace

T V^{γ - 1} = cost.

, che dà:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, ossia

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. Si noti che in questo calcolo è indispensabile esprimere la temperatura in kelvin per non commettere errori! Se ne deduce

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. Per il lavoro, poiché

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : durante l'espansione il gas fornisce lavoro all'esterno. Non potendo prelevarlo da alcuna sorgente di calore ( $Q = 0$ ), attinge alla propria energia interna, da cui il raffreddamento $Δ T < 0$ .

Domanda 5. Differenziando

P V = cost.

(\frac{d P}{d V})_{isot.} = - \frac{P}{V}

. Differenziando

P V^{γ} = cost.

(\frac{d P}{d V})_{adiab.} = - γ \frac{P}{V}

. L'adiabatica è

γ

volte più ripida dell'isoterma: comprimendo senza disperdere calore, la pressione aumenta più rapidamente, poiché aumenta anche la temperatura.