Esercizio svolto di termodinamica

Esercizio di teoria: leggi di Laplace

Esercizio 10 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

esercizio di teoria
legge di Laplace
indice adiabatico
gamma
espansione adiabatica
primo principio in forma differenziale

Testo

Si considerano $n$ moli di gas perfetto con indice adiabatico $\gamma = c_P/c_V$ supposto costante. Il sistema è considerato chiuso. Si ammette la relazione di Mayer $c_P - c_V = R$ (si veda l'esercizio sulla scoperta di $c_P$ ).

Mostrare che $c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.$
Il gas subisce una trasformazione adiabatica quasistatica per la quale si suppone $P_{\text{ext}} = P$ . Partendo dal primo principio in forma differenziale, mostrare che $\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0,$ e dedurne che $TV^{\gamma-1} = \text{cost.}$ lungo la trasformazione.
Dedurne le altre due forme della legge di Laplace: $PV^\gamma = \text{cost.}$ e $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cost.}$ .
Si consideri una tale espansione che raddoppia il volume di un gas monoatomico ( $\gamma = 5/3$ ), con $n = 1$ mol, alla temperatura iniziale $T_i = 300$ K. Calcolare $T_f$ , poi $\Delta T$ e $W$ , e commentare i segni di $\Delta T$ e di $W$ .
Nel diagramma di Clapeyron $(P,V)$ , confrontare in uno stesso punto la pendenza di una tale adiabatica con quella di un'isoterma.

Suggerimento

Per la domanda 2:

\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T

\delta W = -P\,\mathrm{d}V

con

P = nRT/V

, quindi separare le variabili. Per la domanda 5, differenziare

PV^\gamma = \text{cost.}

PV = \text{cost.}

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Da

c_P = \gamma c_V

e da

c_P - c_V = R

, si ottiene

c_V(\gamma - 1) = R

, da cui le due formule.

Domanda 2. Adiabatica: $\delta Q = 0$ , quindi $\mathrm{d}U = \delta W$ , ossia $n c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V$ . Con $c_V = R/(\gamma-1)$ :

\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Integrando: $\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{cost.}$ , cioè $TV^{\gamma-1} = \text{cost.}$ .

Domanda 3. Sostituendo $T = PV/(nR)$ si ottiene $PV^\gamma = \text{cost.}$ poiché $n$ è costante. Sostituendo $V = nRT/P$ , si ottiene $T \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{cost.}$ , e quindi $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cost.}$ .

Domanda 4. Il modo più semplice consiste nell'usare la legge di Laplace $T V^{\gamma - 1} = \text{cost.}$ , che dà: $T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}$ , ossia $T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189$ K. Si noti che in questo calcolo è indispensabile esprimere la temperatura in kelvin per non commettere errori! Se ne deduce $\Delta T = T_f-T_i \approx -111$ K. Per il lavoro, poiché $Q = 0$ :

W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

$W < 0$ : durante l'espansione il gas fornisce lavoro all'esterno. Non potendo prelevarlo da alcuna sorgente di calore ( $Q=0$ ), attinge alla propria energia interna, da cui il raffreddamento $\Delta T < 0$ .

Domanda 5. Differenziando $PV = \text{cost.}$ : $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isot.}} = -\dfrac{P}{V}$ . Differenziando $PV^\gamma = \text{cost.}$ : $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab.}} = -\gamma\dfrac{P}{V}$ . L'adiabatica è $\gamma$ volte più ripida dell'isoterma: comprimendo senza disperdere calore, la pressione aumenta più rapidamente, poiché aumenta anche la temperatura.