Esercizio svolto di termodinamica

Equilibrio vincolato o stato stazionario?

Esercizio 6 · Lezione 3 — Nozioni fondamentali

equilibrio termodinamico
stato stazionario
vincoli
flussi
sistema aperto

Testo

Si considerano tre situazioni idealizzate, trascurando la gravità.

Due gas, ciascuno in equilibrio interno, sono racchiusi in un recipiente isolato. Una parete rigida, adiabatica e impermeabile li separa. Le loro temperature $T_{1}, T_{2}$ e le loro pressioni $P_{1}, P_{2}$ sono diverse.
Una barra metallica è a contatto, alle due estremità, con due termostati a $T_{H} > T_{C}$ . Le sue superfici laterali sono isolate termicamente. Il suo profilo di temperatura non varia più nel tempo, ma la barra è attraversata da una potenza termica non nulla.
Un serbatoio viene alimentato con acqua e svuotato con la stessa portata massica costante. Il suo livello, la sua temperatura e il moto dell'acqua osservato in ogni punto non variano più nel tempo.

Disegnare uno schema di ciascuna situazione, delimitando il sistema studiato e indicando gli scambi che ne attraversano la frontiera.
Classificare ciascuna situazione: equilibrio termodinamico rispetto ai vincoli imposti, oppure stato stazionario fuori dall'equilibrio? Giustificare la risposta a partire dai flussi, e non soltanto dall'assenza di evoluzione temporale.
Nella prima situazione si rende la parete diatermica, mantenendola rigida e impermeabile. Quale evoluzione diventa possibile? Quale uguaglianza deve essere soddisfatta all'equilibrio finale? Le pressioni devono necessariamente diventare uguali?
Si mantiene invece la parete adiabatica e impermeabile, ma la si sostituisce con un pistone mobile senza attrito e non soggetto a forze esterne, inizialmente in quiete. Quale differenza ne provoca il moto? Se si raggiunge uno stato finale di quiete, quale uguaglianza impone l'equilibrio meccanico?

Suggerimento

Un vincolo può mantenere una differenza di temperatura o di pressione senza consentire alcun flusso. Anche un flusso entrante uguale al flusso uscente può mantenere costanti alcune grandezze, ma non si tratta di un equilibrio.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Per i due gas si racchiude l'intero recipiente: nessuno scambio ne attraversa la frontiera esterna e nessun trasferimento attraversa la parete. Si indicano

(T_{1}, P_{1})

(T_{2}, P_{2})

ai due lati della parete. Per la sola barra, le frecce termiche entrano dal lato caldo ed escono dal lato freddo. Per il volume di controllo delimitato dal serbatoio, una freccia di materia entra dall'alimentazione e un'altra esce dallo scarico; questa materia trasporta anche energia. Domanda 2. I due gas sono in equilibrio rispetto ai vincoli imposti. La parete impedisce gli scambi di calore, lo spostamento meccanico e gli scambi di materia. Le differenze

T_{1} - T_{2}

P_{1} - P_{2}

non provocano quindi alcuna evoluzione consentita. La barra è in uno stato stazionario, ma fuori dall'equilibrio: è attraversata in permanenza da energia termica. Una temperatura costante nel tempo in ogni punto non implica né una temperatura uniforme nello spazio, né l'assenza di flussi. Anche il serbatoio è in uno stato stazionario fuori dall'equilibrio. Se

\overset{m}{˙}_{in}

\overset{m}{˙}_{out}

indicano le portate massiche, positive, il bilancio di massa dà

\frac{d m}{d t} = \overset{m}{˙}_{in} - \overset{m}{˙}_{out} = 0.

La massa contenuta è costante, ma ciascuna delle due portate è non nulla. L'acqua si rinnova: il sistema scelto è aperto.

Domanda 3. La rimozione dell'isolamento termico consente un trasferimento dal gas caldo al gas freddo. All'equilibrio finale,

T_{1, f} = T_{2, f}

. Poiché la parete resta rigida, può sostenere una differenza di pressione: nulla impone

P_{1, f} = P_{2, f}

. Per due gas perfetti, per esempio, i rapporti

n_{1} / V_{1}

n_{2} / V_{2}

possono essere diversi, e quindi anche le pressioni

n_{1} R T_{f} / V_{1}

n_{2} R T_{f} / V_{2}

. Domanda 4. Se la sezione del pistone vale

A

, la risultante delle forze di pressione, orientata da 1 verso 2, è

F = A (P_{1} - P_{2})

. Essa è inizialmente non nulla e mette in moto il pistone. In uno stato finale di quiete,

F = 0

impone

P_{1, f} = P_{2, f}

. L'adiabaticità non impone l'uguaglianza delle temperature. L'esistenza di uno stato finale di quiete è qui condizionale: il solo bilancio delle forze non descrive lo smorzamento di eventuali oscillazioni.