Esercizio svolto di termodinamica

Cambiare la dimensione di un sistema

Esercizio 7 · Lezione 3 — Nozioni fondamentali

estensività
intensività
omogeneità
superficie
analisi dimensionale

Testo

Un sistema omogeneo usuale possiede una massa $m$ , un volume $V$ , un numero di particelle $N$ , un'energia interna $U$ , una temperatura $T$ e una pressione $P$ . Si suppone qui che $U$ sia estensiva, trascurando le interazioni a lungo raggio e gli effetti di bordo. Se ne cambia la dimensione a stato intensivo fissato: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , con $λ > 0$ , mentre $T$ e $P$ restano invariate.

Determinare il grado di omogeneità di $m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ e $V^{1/3}$ . Quali grandezze sono estensive, quali intensive e quali né l'una né l'altra cosa?
Si propongono due espressioni di un'energia, $U_{1} = a N k_{B} T$ e $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , dove $a > 0$ è adimensionale e indipendente dalla dimensione del sistema. Verificarne le dimensioni, quindi determinare quale delle due è compatibile con l'ipotesi di estensività. Ricordare perché queste due verifiche sono distinte.
Per una sfera di raggio $R$ , esprimere l'area $A$ in funzione del volume $V$ . Determinare i gradi di omogeneità di $A$ e di $A / V$ quando si ingrandisce una singola sfera a densità fissata.
Confrontare l'area di una sfera di volume $8 V$ con l'area totale di otto sfere separate, ciascuna di volume $V$ . Spiegare perché «ingrandire un oggetto» e «affiancarne delle copie» non danno lo stesso risultato per l'area delle sue interfacce.

Suggerimento

Sostituire ciascuna grandezza con il suo valore dopo il cambiamento di scala. Il fattore ottenuto deve essere

λ^{k}

per una grandezza omogenea di grado

k

. Per la sfera, partire da

V = 4 π R^{3} /3

A = 4 π R^{2}

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. I fattori di scala si moltiplicano in un prodotto e si dividono in un quoziente. Esplicitamente si trova

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Questi tre rapporti sono di grado $0$ , quindi intensivi. Inoltre,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Pertanto $P V$ e $U^{2} / V$ sono di grado $1$ , quindi estensivi nel senso della legge di scala data; $V^{1/3}$ è di grado $1/3$ , quindi né estensivo né intensivo. Il grado di omogeneità non specifica le unità di misura: $P V$ si esprime in joule, mentre $U^{2} / V$ in $J^{2} m^{- 3}$ .

Domanda 2.

N

è un numero adimensionale e

k_{B}

si esprime in

J K^{- 1}

. Le due espressioni hanno quindi le dimensioni di un'energia. Tuttavia,

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

Solo $U_{1}$ è compatibile con l'estensività ipotizzata. Una formula può dunque avere le unità corrette pur presentando una dipendenza errata dalla dimensione del sistema. Ciò non esclude qualsiasi energia non estensiva: è l'ipotesi posta in questo esercizio a escludere $U_{2}$ .

Domanda 3. Si ricava il raggio e lo si sostituisce nell'espressione dell'area:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Dunque $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : l'area è di grado $2/3$ . Dividendo per $λV$ , si ottiene $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ . Il rapporto tra area e volume è di grado $- 1/3$ e diminuisce quando la sfera si ingrandisce.

Domanda 4. Per la sfera singola,

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

. Le otto sfere separate hanno invece un'area totale

8 A (V)

. La loro area totale è quindi doppia. L'ingrandimento di un oggetto compatto ne conserva la forma e riduce il peso relativo delle interfacce. L'affiancamento conserva tutte le interfacce delle copie. Quando si studiano contributi di superficie bisogna precisare l'operazione geometrica; sono proprio questi contributi a essere trascurati nella descrizione estensiva del volume.