Esercizio svolto di termodinamica

Contare le variabili indipendenti

Esercizio 8 · Lezione 3 — Nozioni fondamentali

equazione di stato
gradi di libertà
vincoli
coordinate di stato

Testo

Si descrivono gli stati di equilibrio di un gas perfetto mediante le quattro variabili positive $(P, V, T, n)$ , legate da $P V = n R T$ . Si cerca la dimensione $d = q - r$ dell'insieme degli stati accessibili, dove $q$ è il numero di variabili utilizzate e $r$ il numero di relazioni indipendenti.

Determinare $q$ , $r$ e $d$ quando $n$ può variare. Proporre tre coordinate indipendenti ed esprimere la quarta variabile.
Ripetere il conteggio per una quantità di sostanza fissata $n = n_{0}$ , poi imponendo anche $T = T_{0}$ e infine $V = V_{0}$ . Dare a ogni passo una scelta di coordinate per gli stati accessibili.
Uno studente aggiunge a $P V = n R T$ la relazione $P = n R T / V$ e conta due equazioni di stato. Spiegare il suo errore.
Due gas perfetti, con quantità di sostanza fissate $n_{1}, n_{2}$ , occupano i compartimenti di un recipiente di volume totale $V_{tot}$ . Sono separati da un pistone diatermico, mobile senza attrito e non soggetto a forze esterne. La temperatura comune non è fissata. All'equilibrio, contare le relazioni indipendenti tra $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ . Esprimere i volumi e la pressione comune in funzione di una coordinata rimanente.

Suggerimento

Conservare le quattro variabili di partenza per i tre conteggi della domanda 2 e aggiungere un vincolo a ogni passo. Per il pistone, usare le due equazioni di stato, il volume totale, l'equilibrio termico e l'equilibrio meccanico.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Si usano

q = 4

variabili e una relazione indipendente, cioè

r = 1

d = 3

. Si può scegliere

(V, T, n)

: la variabile restante è allora

P = n R T / V

. La condizione

V > 0

consente questa divisione. Domanda 2. Per il gas chiuso, le relazioni sono

P V = n R T

n = n_{0}

, quindi

r = 2

d = 4 - 2 = 2

. La coppia

(V, T)

è adatta, con

P = n_{0} R T / V

. Se si togliesse fin dall'inizio

n

dalla lista delle variabili, si avrebbe anche

q = 3

r = 1

, quindi lo stesso

d = 2

. Il vincolo aggiuntivo

T = T_{0}

porta

r

3

e dà

d = 1

. Il volume

V

basta a parametrizzare gli stati, poiché

P = n_{0} R T_{0} / V

. Infine, imporre

V = V_{0}

porta

r

4

e dà

d = 0

: resta un unico stato, con

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

. Quest'ultimo insieme non richiede alcuna coordinata libera. Questi vincoli riducono l'insieme accessibile, non il numero di variabili necessario per descrivere il gas senza vincoli. Domanda 3. Poiché

V > 0

, la seconda scrittura si ottiene dividendo la prima per

V

. Ogni stato che soddisfa l'una soddisfa automaticamente l'altra. La seconda relazione non elimina quindi alcuno stato aggiuntivo e non aumenta

r

. Bisogna contare vincoli indipendenti, non righe di equazioni. Domanda 4. Le sei variabili soddisfano le cinque relazioni

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

Poniamo $T = T_{1} = T_{2}$ e $P = P_{1} = P_{2}$ . Sommando le equazioni di stato si ottiene

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

Sostituendo in ciascuna equazione di stato,

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

Il fattore $R T$ si semplifica nei volumi, ma non nella pressione. La temperatura $T > 0$ resta libera e determina tutte le altre variabili: le cinque relazioni sono effettivamente indipendenti e $d = 6 - 5 = 1$ . Un dato energetico aggiuntivo potrebbe selezionare uno stato particolare; qui non è imposto.