Esercizio svolto di termodinamica

Integrare una forma differenziale lungo un cammino

Esercizio 6 · Lezione 4 — Il primo principio della termodinamica

  • forma differenziale
  • differenziale esatto
  • criterio di Schwarz
  • integrale curvilineo

Versione di lavoro — questo esercizio è ancora in revisione.

Testo

Si considerino le due forme differenziali

ω1=y dx+x dy,ω2=y dx,\omega_1=y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y,\qquad\omega_2=y\,\mathrm{d}x,

e tre cammini che congiungono l'origine O(0,0)O(0,0) al punto M(1,1)M(1,1): γ1\gamma_1, formato dal segmento orizzontale O→(1,0)O\to(1,0) seguito da quello verticale (1,0)→M(1,0)\to M; γ2\gamma_2, formato dal segmento verticale O→(0,1)O\to(0,1) seguito da quello orizzontale (0,1)→M(0,1)\to M; e γ3\gamma_3, il segmento rettilineo che congiunge direttamente OO a MM.

  1. Mostrare che ω1\omega_1 è esatta trovando una funzione ff tale che ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f.
  2. Calcolare ∫γ1ω1\int_{\gamma_1}\omega_1 e ∫γ2ω1\int_{\gamma_2}\omega_1 parametrizzando ogni segmento. Ritrovare il risultato senza calcoli.
  3. Applicare il criterio di Schwarz a ω2\omega_2. Che cosa si può concludere?
  4. Calcolare ∫γ1ω2\int_{\gamma_1}\omega_2, ∫γ2ω2\int_{\gamma_2}\omega_2 e ∫γ3ω2\int_{\gamma_3}\omega_2. Commentare.

Suggerimento
Su un segmento orizzontale dy=0\mathrm{d}y=0, su uno verticale dx=0\mathrm{d}x=0: ogni integrale si riduce a un integrale semplice.

Soluzione dettagliata

Soluzione
Domanda 1. Va bene f(x,y)=xyf(x,y)=xy, poiché ∂f/∂x=y\partial f/\partial x=y e ∂f/∂y=x\partial f/\partial y=x.

Domanda 2. Per una curva parametrizzata da t↦(x(t),y(t))t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr),

∫γω1=∫[y(t)x′(t)+x(t)y′(t)] dt.\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

Il cammino γ1\gamma_1 è l'unione di due segmenti. Sul primo, x(t)=tx(t)=t e y(t)=0y(t)=0, con t∈[0,1]t\in[0,1]; quindi dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t e dy=0\mathrm{d}y=0. Sul secondo, x(t)=1x(t)=1 e y(t)=ty(t)=t, sempre con t∈[0,1]t\in[0,1]; quindi dx=0\mathrm{d}x=0 e dy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t. Pertanto,

I1=∫γ1ω1=∫01(0×1+t×0) dt+∫01(t×0+1×1) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned}I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1&=\int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\&=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}

Per γ2\gamma_2, il primo segmento è parametrizzato da x(t)=0x(t)=0, y(t)=ty(t)=t, e il secondo da x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1, con t∈[0,1]t\in[0,1] in entrambi i casi. Si ottiene

I2=∫γ2ω1=∫01(t×0+0×1) dt+∫01(1×1+t×0) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned}I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1&=\int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\&=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}

I due valori coincidono. Lo si poteva prevedere senza calcoli: poiché ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f con f(x,y)=xyf(x,y)=xy, l'integrale dipende solo dagli estremi,

∫γω1=f(M)−f(O)=f(1,1)−f(0,0)=1.\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Domanda 3. Scriviamo ω2=A(x,y) dx+B(x,y) dy\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y. Qui A(x,y)=yA(x,y)=y e B(x,y)=0B(x,y)=0. Se la forma fosse esatta, il criterio di Schwarz darebbe

∂A∂y=∂B∂x.\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

Ma ∂A/∂y=1\partial A/\partial y=1, mentre ∂B/∂x=0\partial B/\partial x=0. Le derivate incrociate sono diverse: ω2\omega_2 non è dunque esatta. Il suo integrale può dipendere dal cammino seguito tra OO e MM, come verifica il calcolo seguente.

Domanda 4. Poiché ω2=y dx\omega_2=y\,\mathrm{d}x, solo una variazione di xx effettuata a un valore non nullo di yy può contribuire all'integrale. Riprendendo le parametrizzazioni precedenti, su γ1\gamma_1 si trova

J1=∫γ1ω2=∫010×1 dt+∫01t×0 dt=0.\begin{aligned}J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2&=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t\\&=0.\end{aligned}

Su γ2\gamma_2, il primo segmento soddisfa x(t)=0x(t)=0, dunque dx=0\mathrm{d}x=0; sul secondo, x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1 e dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t. Quindi

J2=∫γ2ω2=∫01t×0 dt+∫011×1 dt=1.\begin{aligned}J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2&=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\&=1.\end{aligned}

Infine, il segmento diagonale γ3\gamma_3 è parametrizzato esplicitamente da

x(t)=t,y(t)=t,t∈[0,1],x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

da cui dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t e dy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t. Ne segue

J3=∫γ3ω2=∫01y(t)x′(t) dt=∫01t dt=12.J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2=\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac12.

I tre cammini hanno gli stessi estremi, ma danno tre valori diversi: J1=0J_1=0, J2=1J_2=1 e J3=1/2J_3=1/2. È precisamente la dipendenza dal cammino caratteristica di una forma differenziale non esatta.