Integrare una forma differenziale lungo un cammino

Domanda 1. Va bene $f(x,y)=xy$, poiché $\partial f/\partial x=y$ e $\partial f/\partial y=x$. Domanda 2. Per una curva parametrizzata da $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$,

$$\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.$$

Il cammino $\gamma_1$ è l'unione di due segmenti. Sul primo, $x(t)=t$ e $y(t)=0$, con $t\in[0,1]$; quindi $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ e $\mathrm{d}y=0$. Sul secondo, $x(t)=1$ e $y(t)=t$, sempre con $t\in[0,1]$; quindi $\mathrm{d}x=0$ e $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Pertanto,

$$\begin{aligned}I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1&=\int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\&=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}$$

Per $\gamma_2$, il primo segmento è parametrizzato da $x(t)=0$, $y(t)=t$, e il secondo da $x(t)=t$, $y(t)=1$, con $t\in[0,1]$ in entrambi i casi. Si ottiene

$$\begin{aligned}I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1&=\int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\&=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}$$

I due valori coincidono. Lo si poteva prevedere senza calcoli: poiché $\omega_1=\mathrm{d}f$ con $f(x,y)=xy$, l'integrale dipende solo dagli estremi,

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$ Domanda 3. Scriviamo $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Qui $A(x,y)=y$ e $B(x,y)=0$. Se la forma fosse esatta, il criterio di Schwarz darebbe $$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Ma $\partial A/\partial y=1$, mentre $\partial B/\partial x=0$. Le derivate incrociate sono diverse: $\omega_2$ non è dunque esatta. Il suo integrale può dipendere dal cammino seguito tra $O$ e $M$, come verifica il calcolo seguente.

Domanda 4. Poiché $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, solo una variazione di $x$ effettuata a un valore non nullo di $y$ può contribuire all'integrale. Riprendendo le parametrizzazioni precedenti, su $\gamma_1$ si trova

$$\begin{aligned}J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2&=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t\\&=0.\end{aligned}$$

Su $\gamma_2$, il primo segmento soddisfa $x(t)=0$, dunque $\mathrm{d}x=0$; sul secondo, $x(t)=t$, $y(t)=1$ e $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Quindi

$$\begin{aligned}J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2&=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\&=1.\end{aligned}$$

Infine, il segmento diagonale $\gamma_3$ è parametrizzato esplicitamente da

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

da cui $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ e $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Ne segue

$$J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2=\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac12.$$

I tre cammini hanno gli stessi estremi, ma danno tre valori diversi: $J_1=0$, $J_2=1$ e $J_3=1/2$. È precisamente la dipendenza dal cammino caratteristica di una forma differenziale non esatta.