Esercizio svolto di termodinamica

Compressione adiabatica: progressiva o brusca

Esercizio 24 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

compressione adiabatica
trasformazione reversibile
trasformazione irreversibile
pressione esterna costante
lavoro

Testo

Questo esercizio è molto più di un grande classico: è anche fondamentale per dimostrare una delle differenze tra una trasformazione reversibile e una trasformazione irreversibile (si veda anche la Lezione 6).

Si considerano $n$ moli di gas perfetto, con capacità termiche costanti e rapporto $γ = c_{P} / c_{V} > 1$ , racchiusi in un cilindro verticale termicamente isolato, di sezione $S$ , chiuso da un pistone termicamente isolato di massa trascurabile, mobile senza attrito. L'esterno si trova alla pressione atmosferica $P_{0}$ , che agisce sulla faccia superiore del pistone. All'equilibrio iniziale, anche la pressione del gas vale quindi $P_{0}$ , e il suo stato è

A = (P_{0}, V_{0}, T_{0}) .

Si dispone di un sovraccarico di massa totale $M$ . Quando è interamente appoggiato sul pistone, la pressione esterna vale

P_{1} = P_{0} + \frac{M g}{S} = x P_{0}, x > 1.

Si confrontano due esperimenti: la massa $M$ viene frazionata in un gran numero di piccole masse aggiunte una alla volta, attendendo ogni nuovo equilibrio; oppure la massa $M$ intera viene appoggiata tutta in una volta. In un secondo momento, il sovraccarico viene rimosso nello stesso modo: un granello di sabbia alla volta oppure tutto in una volta.

I due esperimenti partono dallo stesso stato iniziale A, rappresentato al centro: il pistone è allora sottoposto soltanto alla pressione atmosferica P_0. A sinistra, il sovraccarico di massa totale M viene appoggiato un granello di sabbia alla volta, in modo che P_ ext aumenti progressivamente; rimuovendolo nello stesso modo, si percorre il cammino in senso inverso. A destra, la stessa massa M viene appoggiata tutta in una volta: P_ ext passa bruscamente da P_0 a P_1. In entrambi gli esperimenti di compressione, P_1=P_0+Mg/ S=xP_0. — Figura 1. I due esperimenti partono dallo stesso stato iniziale $A$ , rappresentato al centro: il pistone è allora sottoposto soltanto alla pressione atmosferica $P_{0}$ . A sinistra, il sovraccarico di massa totale $M$ viene appoggiato un granello di sabbia alla volta, in modo che $P_{ext}$ aumenti progressivamente; rimuovendolo nello stesso modo, si percorre il cammino in senso inverso. A destra, la stessa massa $M$ viene appoggiata tutta in una volta: $P_{ext}$ passa bruscamente da $P_{0}$ a $P_{1}$ . In entrambi gli esperimenti di compressione, $P_{1} = P_{0} + M g / S = x P_{0}$ .

Il sovraccarico viene aggiunto molto progressivamente, in modo che la pressione esterna passi lentamente da $P_{0}$ a $P_{1}$ . Giustificare che in ogni istante la pressione $P$ del gas è uguale alla pressione esterna $P_{ext}$ . Quale legge si può allora usare per collegare gli stati successivi del gas? Ricavare $P_{B} / P_{0}$ , $T_{B} / T_{0}$ e $V_{B} / V_{0}$ in funzione di $x$ e di $γ$ .
Si parte ora dallo stato $B$ e si rimuove il sovraccarico molto progressivamente, un granello di sabbia alla volta, finché la pressione esterna torna a essere $P_{0}$ . Usando la stessa legge della domanda precedente, mostrare che il gas ritorna esattamente al suo stato iniziale $A$ .
Si riparte da $A$ e questa volta si appoggia la massa $M$ tutta in una volta: la pressione esterna assume bruscamente il valore costante $P_{1}$ . Determinare completamente lo stato finale $B^{'}$ e inoltre $W_{A B^{'}}$ , $Q_{A B^{'}}$ e $Δ U_{A B^{'}}$ .
Considerare dapprima l'esempio $γ = 5/3$ e $x = 2$ per confrontare numericamente $T_{B^{'}}$ con $T_{B}$ . Stabilire poi analiticamente il confronto per ogni $γ > 1$ e ogni $x > 1$ , quindi confrontare $V_{B^{'}}$ con $V_{B}$ . Quale delle due compressioni riscalda maggiormente il gas e quale lo comprime maggiormente?
A partire da $B^{'}$ , si rimuove bruscamente tutto il sovraccarico: la pressione esterna torna a essere la pressione atmosferica $P_{0}$ . Determinare lo stato finale $B^{''}$ . Mostrare se $T_{B^{''}}$ e $V_{B^{''}}$ sono maggiori o minori dei rispettivi valori iniziali.
Effettuare il bilancio energetico del percorso di andata e ritorno $A \to B^{'} \to B^{''}$ . Spiegare che cosa aggiungerà la Lezione 6 a questo confronto.

Suggerimento

Per la trasformazione brusca, usare

W = - P_{ext} (V_{f} - V_{i})

e soltanto l'equazione di stato negli stati di equilibrio iniziale e finale. Per confrontare

B

B^{'}

, si potrà studiare il logaritmo del rapporto

T_{B^{'}} / T_{B}

Soluzione dettagliata

Soluzione

Ricordiamo che

c_{V} = \frac{R}{γ - 1}

. Domanda 1. Il sovraccarico è frazionato in masse sufficientemente piccole e ogni nuovo equilibrio viene raggiunto prima di aggiungere la successiva: il gas passa quindi attraverso una successione continua di stati di equilibrio: la trasformazione è quasistatica. Poiché il pistone ha massa trascurabile ed è privo di attrito, l'equilibrio meccanico in ogni istante impone

P S = P_{ext} S

, ossia

P = P_{ext}

. Poiché le pareti sono termicamente isolate,

δ Q = 0

. In queste condizioni, si possono quindi usare le leggi di Laplace. Due forme utili tra

A

B

sono

P_{0} V_{0}^{γ} = P_{B} V_{B}^{γ}, T_{0}^{γ} P_{0}^{1 - γ} = T_{B}^{γ} P_{B}^{1 - γ} .

Poiché $P_{B} = P_{1} = x P_{0}$ , la prima relazione dà direttamente $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ , mentre la seconda dà $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ . Infine, $P_{B} / P_{0} = x$ , $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ e $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ .

Domanda 2. Durante la rimozione progressiva del sovraccarico, il gas rimane in equilibrio meccanico con l'esterno e segue la stessa adiabatica di Laplace, ma in senso inverso. Alla fine,

P_{f} = P_{0}

. Le relazioni di Laplace danno quindi

T_{f} = T_{B} (\frac{P _{0}}{P _{1}})^{(γ - 1) / γ} = T_{0} x^{(γ - 1) / γ} x^{- (γ - 1) / γ} = T_{0},

V_{f} = V_{B} (\frac{P _{1}}{P _{0}})^{1/ γ} = V_{0} x^{- 1/ γ} x^{1/ γ} = V_{0} .

Il gas ritrova quindi esattamente lo stato $A = (P_{0}, V_{0}, T_{0})$ . La trasformazione può essere percorsa nei due sensi passando attraverso la stessa successione di stati di equilibrio: si dice che la trasformazione è reversibile.

Domanda 3. Non si devono usare le leggi di Laplace: durante questa trasformazione brusca, il gas non passa attraverso una successione di stati di equilibrio. Durante l'evoluzione, nel lavoro interviene soltanto la pressione esterna costante

P_{1}

W_{A B^{'}} = - P_{1} (V_{B^{'}} - V_{0})

. All'equilibrio finale,

P_{B^{'}} = P_{1}

. Usando

P_{0} V_{0} = n R T_{0}

P_{1} V_{B^{'}} = n R T_{B^{'}}

Q_{A B^{'}} = 0

Δ U_{A B^{'}} = n c_{V} (T_{B^{'}} - T_{0})

, il primo principio dà

T_{B^{'}} = T_{0} \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

Poniamo

θ = \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

Allora

P_{B^{'}} = x P_{0}, T_{B^{'}} = θ T_{0}, V_{B^{'}} = \frac{θ}{x} V_{0} .

Domanda 4. Cominciamo dall'esempio $γ = 5/3$ e $x = 2$ . La compressione progressiva dà $T_{B} / T_{0} = 2^{2/5} ≃ 1, 32$ , mentre la compressione brusca dà

T_{B^{'}} / T_{0} = θ = [1 + (2/3) \times 2] / (5/3) = 7/5 = 1, 40.

In questo esempio, la compressione brusca riscalda quindi maggiormente il gas. Mostriamo che questo risultato è generale. Poniamo

f (x) = ln (\frac{T _{B^{'}}}{T _{B}}) = ln (\frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ}) - \frac{γ - 1}{γ} ln x .

Si ha $f (1) = 0$ , e

f^{'} (x) = \frac{γ - 1}{1 + ( γ - 1 ) x} - \frac{γ - 1}{γ x} = \frac{( γ - 1 ) ( x - 1 )}{γ x [ 1 + ( γ - 1 ) x ]}

Per $γ > 1$ e $x > 1$ , tutti i fattori del denominatore sono positivi e $f^{'} (x) > 0$ . Pertanto $f (x) > f (1) = 0$ , quindi $T_{B^{'}} / T_{B} > 1$ , ossia $T_{B^{'}} > T_{B}$ . I due stati hanno la stessa pressione $P_{1}$ ; l'equazione dei gas perfetti impone quindi anche $V_{B^{'}} > V_{B}$ . La compressione brusca riscalda maggiormente il gas, ma lo comprime meno della compressione progressiva.

Domanda 5. La rimozione brusca del sovraccarico fa passare la pressione esterna da

P_{1}

P_{0} = P_{1} / x

. Si riprende quindi il calcolo della domanda 3 sostituendo il rapporto di pressione

x

con il suo inverso

1/ x

. Il risultato della domanda 3 diventa così

\frac{T _{B^{''}}}{T _{B^{'}}} = \frac{1 + ( γ - 1 ) P _{0} / P _{1}}{γ} = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ} .

Ponendo

φ = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ},

si ottiene

P_{B^{''}} = P_{0}, T_{B^{''}} = θ φ T_{0}, V_{B^{''}} = θ φ V_{0} .

Ora

θ φ - 1 = \frac{γ - 1}{γ ^{2}} (x + \frac{1}{x} - 2) .

Nel regime studiato, $x > 1$ , quindi $x > 0$ e $x + 1/ x - 2 = (x - 1)^{2} / x > 0$ . Poiché $γ > 1$ , si ha effettivamente $θ φ - 1 > 0$ . Di conseguenza,

T_{B^{''}} > T_{0} V_{B^{''}} > V_{0}

Dopo il percorso di andata e ritorno della pressione esterna, il gas non torna quindi allo stato $A$ . Questo scarto è una prima manifestazione dell'irreversibilità: riportare il vincolo esterno al suo valore iniziale non è sufficiente per riportare il sistema al suo stato iniziale.

Domanda 6. L'espansione brusca è adiabatica e quindi, sull'intero percorso di andata e ritorno,

Q_{tot} = 0, W_{tot} = Δ U_{tot} = n c_{V} T_{0} (θ φ - 1) > 0.

Le manipolazioni esterne riportano la pressione al suo valore iniziale, ma il gas ha ricevuto un lavoro netto e rimane più caldo e più dilatato. La Lezione 6 riprenderà gli stessi stati per mostrare che la compressione reversibile non produce entropia, mentre ciascuna delle due trasformazioni brusche ne produce.