Latihan termodinamika dengan pembahasan

Translasi, rotasi, dan agitasi termal

Latihan 14 · Pelajaran 4 — Hukum Pertama Termodinamika

teorema König
rotasi
energi kinetik
energi dalam
gesekan

Soal

Sebuah sistem yang terdiri atas $N$ partikel bermassa $m_{i}$ memiliki massa total $M$ , pusat massa dengan posisi $R$ dan kecepatan $V$ . Tuliskan $ρ_{i} = r_{i} - R$ dan uraikan kecepatannya:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

Kecepatan sudut menyeluruh $ω$ dipilih sedemikian rupa sehingga gerak sisa tidak membawa momentum sudut total:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

Kita terima identitas $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , dengan $I_{CM}$ tensor inersia terhadap pusat massa.

Jabarkan $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ dan tunjukkan bahwa ketiga suku silangnya sama dengan nol. Simpulkan penguraian menjadi translasi, rotasi menyeluruh, dan gerak sisa.
Dalam konvensi yang menghitung translasi dan rotasi menyeluruh sebagai gerak makroskopik, energi kinetik manakah yang termasuk dalam energi dalam? Apakah cukup meninjau sistem dalam kerangka acuan pusat massa untuk hanya menyisakan agitasi termal?
Sebuah cakram homogen bermassa $M$ dan berjari-jari $R$ , dengan sumbu tetap, mula-mula berputar dengan kecepatan sudut $ω_{0}$ . Momen inersianya ialah $I = M R^{2} /2$ . Sebuah rem menghentikannya. Sistem cakram dan rem terisolasi secara termal; penyangganya yang diam tidak memberikan kerja apa pun. Seluruh energi yang terdisipasi tetap berada di dalam sistem ini, yang kapasitas kalor totalnya konstan $C$ . Tentukan perubahan energi dalam dan kenaikan suhunya.
Hitung energi yang dikonversi dan kenaikan suhu untuk $M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ , dan $C = 500 J K^{- 1}$ . Apakah energi ini melintasi batas sistem dalam bentuk kalor?

Petunjuk

Gunakan

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

dan identitas hasil kali campuran

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

. Selama pengereman,

U + E_{kin}^{macro}

kekal.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Definisi pusat massa memberikan

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

. Akibatnya,

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Dengan menjabarkan setiap kuadrat,

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

Suku silang pertama hilang karena definisi pusat massa. Suku kedua hilang karena momentum sisa sama dengan nol. Untuk suku ketiga, hasil kali campuran memberikan

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

Dengan identitas yang diberikan untuk tensor inersia, tersisa

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Pertanyaan 2. Dalam konvensi ini, sumbangan kinetik pada energi dalam ialah suku terakhir, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . Energi dalam juga mencakup energi potensial internal dan derajat kebebasan internal lain jika ada. Meninjau sistem dalam kerangka acuan pusat massa menghilangkan suku translasi, tetapi suku rotasi menyeluruh tetap ada. Dengan demikian, cakram yang berputar pada sumbu tetap memiliki energi kinetik makroskopik walaupun pusat massanya diam.

Pertanyaan 3. Kalor dan kerja yang melintasi batas sistem cakram dan rem sama dengan nol. Gaya dari penyangga dapat memindahkan momentum sudut, tetapi titik tangkapnya yang diam tidak memindahkan kerja. Dengan mengabaikan perubahan energi makroskopik lainnya, kekekalan energi memberikan

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

Cakram berhenti, jadi $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . Akibatnya,

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

Setelah kesetimbangan termal internal tercapai, model kapasitas kalor konstan memberikan $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , yaitu

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

Gesekan mengubah energi gerak teratur menjadi energi dalam di dalam sistem.

Pertanyaan 4. Momen inersianya ialah

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

. Diperoleh

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

Sistem menjadi lebih panas walaupun $Q = 0$ : energi ini tidak melintasi batasnya dalam bentuk kalor. Energi itu mula-mula sudah ada di dalam sistem sebagai energi kinetik rotasi.