Latihan termodinamika dengan pembahasan

Merakit bola gravitasi yang seragam

Latihan 15 · Pelajaran 4 — Hukum Pertama Termodinamika

gravitasi
energi interaksi
bola seragam
keekstensifan
jangkauan jauh

Soal

Sebuah bola berjari-jari $R$ memuat massa $M$ yang tersebar secara seragam, dengan massa jenis $ρ_{m}$ . Kita hendak menghitung energi potensial gravitasinya $U_{grav}$ , dengan titik nol ketika elemen-elemen massanya terpisah tak berhingga jauhnya.

Bayangkan bola dirakit lapis demi lapis secara konsentris, dengan massa jenis yang tetap sama. Pada tahap ketika jari-jarinya mencapai $r$ , massa yang sudah terakit ialah $M (r)$ , dan sebuah kulit bola bermassa $d M$ didatangkan dari jauh tak berhingga. Kita terima bahwa potensial yang ditimbulkan massa di dalamnya pada permukaan kulit itu ialah $- GM (r) / r$ . Perhitungan hanya menyangkut energi gravitasi; kesetimbangan mekanis bola tidak diandaikan.

Gambarlah bola yang sudah terakit dan kulit tambahan di antara $r$ dan $r + d r$ . Nyatakan $ρ_{m}$ , $M (r)$ , dan $d M$ sebagai fungsi $M, R, r$ , dan $d r$ .
Nyatakan energi interaksi kulit dengan bola di dalamnya, lalu integralkan untuk memperoleh $U_{grav}$ . Haruskah hasilnya dibagi dua?
Bola memuat $N$ penyusun bermassa $m$ , dengan $M = N m$ . Pada massa jenis $ρ_{m}$ tetap, nyatakan $R$ sebagai fungsi $N$ , lalu tentukan bagaimana $U_{grav}$ dan $U_{grav} / N$ bergantung pada $N$ .
Bandingkan energi bola dengan $2 N$ penyusun dengan jumlah energi dua bola yang masing-masing berisi $N$ penyusun dan terpisah tak berhingga jauhnya, semuanya dengan massa jenis yang sama. Berikan komentar tentang tanda selisihnya dan tentang keekstensifan.

Petunjuk

Volume kulit ialah

4 π r^{2} d r

. Energi interaksinya dengan massa yang sudah ada ialah

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. Dalam penghitungan ini, setiap pasangan dijumpai ketika bagian luarnya ditambahkan.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Gambar memperlihatkan bola pejal berjari-jari

r

, bermassa

M (r)

, yang dikelilingi lapisan setebal

d r

; jari-jari akhir

R

ditandai. Keseragaman massa jenis memberikan

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

Massa yang ditambahkan dengan demikian adalah

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Pertanyaan 2. Potensial gravitasi adalah energi per satuan massa. Dengan mengalikannya dengan massa yang didatangkan, diperoleh

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Integrasi dilakukan atas semua jari-jari perakitan:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Setiap interaksi antara lapisan baru dan lapisan di dalamnya dihitung tepat satu kali. Karena itu, faktor $1/2$ tidak boleh ditambahkan. Energi diri sebuah kulit infinitesimal berorde $(d M)^{2}$ dan tidak menyumbang pada integral dalam limit kontinu. Tanda negatif mencerminkan tarik-menarik; memisahkan massa-massa itu memerlukan masukan energi. Akhirnya, $G M^{2} / R$ memang bersatuan joule.

Pertanyaan 3. Pada massa jenis tetap,

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Dengan menyubstitusikan $M$ dan $R$ ke dalam energi,

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

dengan $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ yang tidak bergantung pada $N$ . Energi per penyusun dengan demikian ialah $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . Nilai mutlaknya bertambah seiring ukuran sistem: besaran ini tidak tetap intensif.

Pertanyaan 4. Bola besar memiliki energi

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Untuk dua bola yang terpisah tak berhingga jauhnya, interaksi timbal baliknya nol dan jumlahnya ialah

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. Selisihnya adalah

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

Bola besar lebih kuat terikat secara gravitasi. Perbandingan keadaan ini saja tidak menggambarkan dinamika penggabungan kedua bola. Perbandingan itu menunjukkan bahwa $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : energi gravitasi tidak ekstensif. Kekekalan energi tidak dipersoalkan; keekstensifan adalah andaian tambahan yang gagal untuk interaksi berjangkauan jauh ini.