Latihan termodinamika dengan pembahasan

Siklus segitiga

Latihan 20 · Pelajaran 5 — Penerapan pada gas ideal

siklus daya
diagram Clapeyron
luas siklus
hukum pertama
efisiensi

Soal

Tinjaulah $n$ mol gas ideal dengan kapasitas kalor molar $c_{V}$ konstan, yang menjalani siklus kuasistatik $A \to B \to C \to A$ , dengan

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

Cabang $A \to B$ bersifat isokhorik, cabang $B \to C$ berupa ruas garis lurus dalam bidang $(P, V)$ , dan cabang $C \to A$ bersifat isobarik.

Untuk siklus daya, efisiensi didefinisikan sebagai

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}},

dengan $Q_{in}$ adalah jumlah transfer kalor elementer $δ Q > 0$ yang diterima gas selama siklus.

Gambarkan siklus dalam diagram Clapeyron dan tentukan arah lintasannya. Apakah siklus ini merupakan siklus daya atau siklus refrigerasi?
Tentukan persamaan $P (V)$ untuk garis yang menghubungkan $B$ dengan $C$ .
Dengan mendefinisikan $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ , tentukan suhu $T_{A}$ , $T_{B}$ , dan $T_{C}$ . Mengapa $Δ U_{B \to C}$ bernilai nol meskipun cabang ini bukan isotermal?
Hitung kerja yang diterima pada masing-masing dari ketiga cabang, kemudian pada keseluruhan siklus. Peroleh kembali nilai mutlak kerja total dari luas segitiga.
Hitung $Δ U$ dan $Q$ pada setiap cabang hanya dalam fungsi $P_{0}$ , $V_{0}$ , dan $c_{V}$ , kemudian verifikasi bahwa $Δ U_{cycle} = 0$ dan $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ .
Dengan mendefinisikan $a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ dan $x = V / V_{0}$ , tunjukkan bahwa tanda $δ Q$ berubah pada suatu titik di cabang $B \to C$ . Dari sini tentukan $Q_{in}$ , kemudian efisiensi $η$ siklus ini. Berikan nilainya untuk gas ideal monoatomik, dengan $c_{V} = \frac{3}{2} R$ .

Petunjuk

Pada

B \to C

, cari

P (V) = aV + b

dengan memberlakukan bahwa garis melalui

B

dan

C

. Untuk menghitung perubahan energi dalam, hanya suhu di ujung-ujung cabang yang diperlukan. Untuk pertanyaan 6, gunakan hukum pertama dalam bentuk diferensial.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1–2. Siklus dilalui searah jarum jam: siklus ini merupakan siklus daya. Persamaan garis

B \to C

adalah

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

Siklus segitiga A B C A dalam diagram Clapeyron. — Gambar 1. Siklus segitiga $A \to B \to C \to A$ dalam diagram Clapeyron.

Pertanyaan 3. Persamaan keadaan memberikan

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

Suhu berubah sepanjang $B \to C$ , tetapi kembali ke nilai yang sama di kedua ujungnya. Karena energi dalam gas ideal hanya bergantung pada suhu untuk jumlah zat yang tetap, $Δ U_{B \to C} = 0$ .

Pertanyaan 4. Kerja yang diterima adalah

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

Dengan demikian,

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

Tandanya negatif: gas memberikan kerja selama siklus. Nilai mutlaknya memang sama dengan luas segitiga yang beralas $V_{0}$ dan tinggi $P_{0}$ , sesuai rumus $A = \frac{1}{2} alas \times tinggi$ untuk segitiga siku-siku.

Pertanyaan 5. Karena

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

Cabang A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

Dengan menjumlahkan ketiga cabang, diperoleh

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

Pertanyaan 6. Definisikan $a = c_{V} / R$ dan $x = V / V_{0}$ . Pada cabang $B \to C$ , $P = P_{0} (3 - x)$ dan $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ . Hukum pertama memberikan

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

Kalor elementer ini bernilai nol pada

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1} .

Ketika $a > 1$ , berlaku $1 < x_{⋆} < 2$ : gas menerima kalor dari $B$ hingga titik berabsis $x_{⋆}$ , kemudian melepaskannya hingga $C$ . Gas juga menerima kalor $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ pada $A \to B$ . Oleh karena itu,

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

Dengan demikian, efisiensinya adalah

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

Untuk gas ideal monoatomik, $a = \frac{3}{2}$ , sehingga

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.