Soal

Tinjaulah $n$ mol gas ideal dengan kapasitas kalor molar $c_V$ konstan, yang menjalani siklus kuasistatik $A\to B\to C\to A$ , dengan

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

Cabang $A\to B$ bersifat isokhorik, cabang $B\to C$ berupa ruas garis lurus dalam bidang $(P,V)$ , dan cabang $C\to A$ bersifat isobarik.

Untuk siklus daya, efisiensi didefinisikan sebagai

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

dengan $Q_{\mathrm{in}}$ adalah jumlah transfer kalor elementer $\delta Q>0$ yang diterima gas selama siklus.

Gambarkan siklus dalam diagram Clapeyron dan tentukan arah lintasannya. Apakah siklus ini merupakan siklus daya atau siklus refrigerasi?
Tentukan persamaan $P(V)$ untuk garis yang menghubungkan $B$ dengan $C$ .
Dengan mendefinisikan $T_0=P_0V_0/(nR)$ , tentukan suhu $T_A$ , $T_B$ , dan $T_C$ . Mengapa $\Delta U_{B\to C}$ bernilai nol meskipun cabang ini bukan isotermal?
Hitung kerja yang diterima pada masing-masing dari ketiga cabang, kemudian pada keseluruhan siklus. Peroleh kembali nilai mutlak kerja total dari luas segitiga.
Hitung $\Delta U$ dan $Q$ pada setiap cabang hanya dalam fungsi $P_0$ , $V_0$ , dan $c_V$ , kemudian verifikasi bahwa $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ dan $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ .
Dengan mendefinisikan $a = \frac{c_V}{R} >1$ dan $x = V/V_0$ , tunjukkan bahwa tanda $\delta Q$ berubah pada suatu titik di cabang $B\to C$ . Dari sini tentukan $Q_{\mathrm{in}}$ , kemudian efisiensi $\eta$ siklus ini. Berikan nilainya untuk gas ideal monoatomik, dengan $c_V=\frac32R$ .

Petunjuk

Pada

B\to C

, cari

P(V)=aV+b

dengan memberlakukan bahwa garis melalui

B

dan

C

. Untuk menghitung perubahan energi dalam, hanya suhu di ujung-ujung cabang yang diperlukan. Untuk pertanyaan 6, gunakan hukum pertama dalam bentuk diferensial.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1—2. Siklus dilalui searah jarum jam: siklus ini merupakan siklus daya. Persamaan garis

B\to C

adalah

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

Siklus segitiga A B C A dalam diagram Clapeyron. — Gambar 1. Siklus segitiga $A\to B\to C\to A$ dalam diagram Clapeyron.

Pertanyaan 3. Persamaan keadaan memberikan

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

Suhu berubah sepanjang $B\to C$ , tetapi kembali ke nilai yang sama di kedua ujungnya. Karena energi dalam gas ideal hanya bergantung pada suhu untuk jumlah zat yang tetap, $\Delta U_{B\to C}=0$ .

Pertanyaan 4. Kerja yang diterima adalah

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

Dengan demikian,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

Tandanya negatif: gas memberikan kerja selama siklus. Nilai mutlaknya memang sama dengan luas segitiga yang beralas $V_0$ dan tinggi $P_0$ , sesuai rumus $A=\frac12\text{alas}\times\text{tinggi}$ untuk segitiga siku-siku.

Pertanyaan 5. Karena $nRT_0=P_0V_0$ ,

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Cabang} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

Dengan menjumlahkan ketiga cabang, diperoleh

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

Pertanyaan 6. Definisikan $a=c_V/R$ dan $x=V/V_0$ . Pada cabang $B\to C$ , $P=P_0(3-x)$ dan $T=T_0(3x-x^2)$ . Hukum pertama memberikan

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

Kalor elementer ini bernilai nol pada

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

Ketika $a>1$ , berlaku $1<x_\star<2$ : gas menerima kalor dari $B$ hingga titik berabsis $x_\star$ , kemudian melepaskannya hingga $C$ . Gas juga menerima kalor $Q_{AB}=aP_0V_0$ pada $A\to B$ . Oleh karena itu,

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

Dengan demikian, efisiensinya adalah

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

Untuk gas ideal monoatomik, $a=\frac32$ , sehingga

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.