Latihan termodinamika dengan pembahasan

Kerja dan kalor antara dua keadaan melalui dua lintasan

Latihan 11 · Pelajaran 5 — Penerapan pada gas ideal

kerja gaya tekanan
kalor
isotermal
isokhorik
diagram Clapeyron
diferensial eksak
gas ideal

Soal

Tinjaulah $n$ mol gas ideal monoatomik dengan energi dalam $U=\frac{3}{2}nRT$ . Keadaan $A(T_1,V_1)$ dihubungkan dengan keadaan $B(T_2,V_2)$ melalui dua lintasan kuasistatik, dengan $P_{\mathrm{ext}}=P$ setiap saat:

$\Gamma_1$ : ekspansi isotermal pada $T_1$ , dari $V_1$ ke $V_2$ , kemudian transformasi isokhorik pada $V_2$ , dari $T_1$ ke $T_2$ ;
$\Gamma_2$ : transformasi isokhorik pada $V_1$ , dari $T_1$ ke $T_2$ , kemudian ekspansi isotermal pada $T_2$ , dari $V_1$ ke $V_2$ .

Untuk kasus $T_2>T_1$ dan $V_2>V_1$ , gambarkan lintasan $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$ dalam diagram Clapeyron $(P,V)$ . Tunjukkan keadaan antara dan arah lintasan.
Hitung kerja yang diterima, $W_1$ dan $W_2$ , sepanjang masing-masing lintasan. Berapakah selisih $W_1-W_2$ ?
Tanpa menghitung ulang kedua integral secara terpisah, peroleh secara geometris $W_1-W_2$ dari luas di antara kedua lintasan dalam diagram Clapeyron.
Hitung $\Delta U$ sepanjang masing-masing lintasan, kemudian turunkan $Q_1$ dan $Q_2$ . Simpulkan sifat $\delta Q$ .
Penerapan numerik: $n=1$ mol, $T_1=300$ K, $T_2=600$ K dan $V_2=2V_1$ .

Petunjuk

Dalam diagram Clapeyron, proses isokhorik berupa garis vertikal dan isoterm gas ideal memenuhi

P=nRT/V

. Isoterm bersuhu

T_2

terletak di atas isoterm bersuhu

T_1

. Proses isokhorik tidak memberikan kontribusi pada kerja gaya tekanan. Untuk pertanyaan 3, kerja yang diterima merupakan kebalikan tanda luas aljabar di bawah lintasan dalam diagram

(P,V)

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Nyatakan

C

sebagai keadaan antara pada lintasan

\Gamma_1

dan

D

sebagai keadaan antara pada lintasan

\Gamma_2

. Tekanan dan volumenya adalah

\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

Karena $T_2>T_1$ , isoterm $T_2$ terletak di atas isoterm $T_1$ . Lintasan $\Gamma_1$ digambar dari $A$ menuju $C$ , ke kanan sepanjang isoterm bawah $T_1$ , kemudian secara vertikal dari $C$ menuju $B$ sepanjang proses isokhorik $V_2$ . Lintasan $\Gamma_2$ mula-mula naik secara vertikal dari $A$ menuju $D$ sepanjang proses isokhorik $V_1$ , kemudian bergerak ke kanan dari $D$ menuju $B$ sepanjang isoterm atas $T_2$ . Dengan demikian, panah kedua lintasan adalah

\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.

Lintasan _1 dan _2 dalam diagram Clapeyron. Kurva abu-abu memperpanjang isoterm T_1 dan T_2. — Gambar 1. Lintasan $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$ dalam diagram Clapeyron. Kurva abu-abu memperpanjang isoterm $T_1$ dan $T_2$ .

Pertanyaan 2. Dengan konvensi kerja yang diterima gas, $\delta W=-P\,\mathrm{d}V$ . Proses isokhorik tidak memberikan kontribusi dan, pada isoterm bersuhu $T$ ,

W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Dengan demikian diperoleh

W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

kemudian

W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Keadaan awal dan akhir identik, tetapi kerjanya berbeda: $\delta W$ bukan diferensial eksak.

Pertanyaan 3. Proses isokhorik tidak menyapu luas apa pun. Karena kerja yang diterima merupakan kebalikan tanda luas di bawah kurva, selisih $W_1-W_2$ adalah luas di antara isoterm $T_2$ dan $T_1$ :

W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

Hasil pertanyaan 2 pun diperoleh kembali.

Pertanyaan 4. Energi dalam gas ideal monoatomik hanya bergantung pada suhu. Oleh karena itu, perubahannya sama pada kedua lintasan:

\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

Hukum pertama, $\Delta U=W+Q$ , memberikan $Q=\Delta U-W$ , sehingga

\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

Jadi,

Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Kalor yang dipertukarkan juga bergantung pada lintasan: $\delta Q$ bukan diferensial eksak, berbeda dengan $\mathrm{d}U$ .

Pertanyaan 5. Dengan $\ln 2\simeq0{,}693$ ,

\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

Gas memberikan kerja dua kali lebih banyak selama $\Gamma_2$ dan menerima kalor tambahan yang bersesuaian.