Pemanasan air: satu, dua, lalu $N$ reservoir termal

Pertanyaan 1. Gambar menunjukkan air mula-mula pada $T_i$, reservoir pada $T_f$, dan panah kalor dari reservoir ke air. Batas mengelilingi gabungan terisolasi $S+\text{lingkungan}$. Air mencapai $T_f$ tanpa menerima kerja, sehingga hukum pertama memberikan

$$Q_{\mathrm{water}}=\Delta U_{\mathrm{water}}=mc(T_f-T_i)>0.$$

Gabungan air—reservoir terisolasi: energi totalnya kekal,

$$\Delta U_{\mathrm{water}}+\Delta U_{\mathrm{th}}=0.$$

Karena kedua benda tidak bertukar kerja,

$$Q_{\mathrm{water}}+Q_{\mathrm{th}}=0,\qquad Q_{\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{water}}=-mc(T_f-T_i)<0.$$

Kalor yang diterima reservoir negatif: reservoir memberikan energi kepada air.

Pertanyaan 2. Pada lintasan reversibel dari $T_i$ ke $T_f$, air menerima $\delta Q_{\mathrm{rev}}=mc\,\mathrm dT$. Perubahan entropinya adalah

$$\Delta S_{\mathrm{water}}=mc\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =mc[\ln T]_{T_i}^{T_f}=mc\ln\frac{T_f}{T_i}>0.$$

Reservoir tetap pada $T_f$, sehingga

$$\Delta S_{\mathrm{th}}=\frac{Q_{\mathrm{th}}}{T_f} =-mc\frac{T_f-T_i}{T_f}<0.$$

Gabungan terisolasi sehingga tidak bertukar entropi dengan alam semesta selebihnya. Seluruh perubahan entropinya merupakan entropi yang dihasilkan:

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)} =\Delta S_{\mathrm{water}}+\Delta S_{\mathrm{th}} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\frac{T_f-T_i}{T_f}\right]>0.$$

Memang, $1/T>1/T_f$ untuk $T_i\leq T<T_f$, sehingga $\int_{T_i}^{T_f}\mathrm dT/T>(T_f-T_i)/T_f$. Perpindahan kalor antara benda bersuhu berbeda bersifat ireversibel.

Pertanyaan 3. Tetapkan $h=(T_f-T_i)/2$, sehingga $T_m-T_i=T_f-T_m=h$. Air menerima $mc h$ pada masing-masing tahap. Isolasi gabungan memberikan, untuk reservoir,

$$Q_{\mathrm{th},1}=-mc h,\qquad Q_{\mathrm{th},2}=-mc h,$$

dan karenanya

$$\Delta S_{\mathrm{th},1}=-\frac{mc h}{T_m},\qquad \Delta S_{\mathrm{th},2}=-\frac{mc h}{T_f}.$$

Untuk air, jumlahkan perubahan kedua tahap:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\ln\frac{T_m}{T_i}+mc\ln\frac{T_f}{T_m}\\ &=mc\bigl[(\ln T_m-\ln T_i)+(\ln T_f-\ln T_m)\bigr]\\ &=mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

Suku-suku antara saling menghapus. Perubahan entropi air persis sama seperti dengan satu reservoir: entropi adalah fungsi keadaan, dan keadaan awal serta akhir air sama dalam kedua percobaan. Hanya lintasannya berubah. Untuk gabungan terisolasi,

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\left(\frac1{T_m}+\frac1{T_f}\right)\right].$$

Selisih kedua neraca adalah

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)}-\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc h\left(\frac1{T_m}-\frac1{T_f}\right)>0.$$

Setiap kontak masih menghasilkan entropi, tetapi tahap antara mengurangi total entropi yang dihasilkan.

Pertanyaan 4. Tetapkan $T_0=T_i$ dan $T_N=T_f$. Pada tahap $k$, air berpindah dari $T_{k-1}$ ke $T_k$ dan menerima $mc h$. Reservoir terkait tetap pada $T_k$ dan menerima

$$Q_{\mathrm{th},k}=-mc h,\qquad \Delta S_{\mathrm{th},k}=-\frac{mc h}{T_k}.$$

Untuk air, kembali diperoleh penjumlahan teleskopik:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\sum_{k=1}^{N}\ln\frac{T_k}{T_{k-1}}\\ &=mc\left[\ln\frac{T_1}{T_0}+\ln\frac{T_2}{T_1} +\cdots+\ln\frac{T_N}{T_{N-1}}\right]\\ &=mc\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\frac{T_2}{T_1} \cdots\frac{T_N}{T_{N-1}}\right)\\ &=mc\ln\frac{T_N}{T_0} =mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

Setiap suhu antara muncul sekali di pembilang dan sekali di penyebut. Menambah jumlah reservoir tetap tidak mengubah perubahan entropi air untuk keadaan ujung yang sama. Namun, entropi yang hilang dari reservoir bergantung pada $N$:

$$\Delta S_{\mathrm{th}}^{(N)}=-mc\,h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k},\qquad \Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k}\right].$$

Saat $N\to\infty$, berlaku $h\to0$ dan jumlah Riemann menuju

$$h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k} \longrightarrow\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =\ln\frac{T_f}{T_i}.$$

Dengan demikian, entropi yang dihasilkan dalam gabungan terisolasi menuju

$$\lim_{N\to\infty}\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\ln\frac{T_f}{T_i}\right]=0.$$

Air selalu memperoleh entropi yang sama, sedangkan dalam limit reservoir kehilangan tepat sebanyak itu. Pemanasan reversibel merupakan limit ideal kontak yang dilakukan selambat mungkin dengan selisih suhu infinitesimal.