Gas ideal: perubahan entropi

Pertanyaan 1. Pilih lintasan reversibel antara kedua keadaan. Kerja yang diterima gas adalah $\delta W=-P\,\mathrm dV$. Hukum pertama memberikan

$$\mathrm dU=\delta Q_{\mathrm{rev}}-P\,\mathrm dV, \qquad \delta Q_{\mathrm{rev}}=\mathrm dU+P\,\mathrm dV.$$

Untuk $n$ mol, $\mathrm dU=nc_V\,\mathrm dT$ dan $P=nRT/V$. Substitusikan bentuk-bentuk ini, lalu bagi dengan $T$:

$$\mathrm dS=\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T} =nc_V\frac{\mathrm dT}{T}+nR\frac{\mathrm dV}{V}.$$

Suhu dapat diubah terlebih dahulu pada volume tetap, kemudian volume diubah pada suhu tetap. Jumlah kedua integral memberikan

$$\begin{aligned} \Delta S&=nc_V\int_{T_I}^{T_F}\frac{\mathrm dT}{T} +nR\int_{V_I}^{V_F}\frac{\mathrm dV}{V}\\ &=nc_V[\ln T]_{T_I}^{T_F}+nR[\ln V]_{V_I}^{V_F}\\ &=nc_V\ln\frac{T_F}{T_I}+nR\ln\frac{V_F}{V_I}. \end{aligned}$$

Entropi adalah fungsi keadaan: hasil ini hanya bergantung pada keadaan awal dan akhir. Karena itu hasilnya juga berlaku untuk proses nyata yang ireversibel antara keadaan tersebut, meskipun $\mathrm dS=\delta Q/T$ tidak dapat ditulis sepanjang proses itu.

Pertanyaan 2. Untuk jumlah zat tetap, $V=nRT/P$ memberikan

$$\frac{V_F}{V_I}=\frac{T_F}{T_I}\frac{P_I}{P_F},\qquad \ln\frac{V_F}{V_I}=\ln\frac{T_F}{T_I}-\ln\frac{P_F}{P_I}.$$

Substitusi ke hasil pertanyaan 1 dan pengelompokan suku-suku suhu memberikan

$$\Delta S=n(c_V+R)\ln\frac{T_F}{T_I}-nR\ln\frac{P_F}{P_I} =nc_P\ln\frac{T_F}{T_I}-nR\ln\frac{P_F}{P_I}.$$

Hubungan Mayer digunakan dalam bentuk $c_V+R=c_P$. Demikian pula, $\mathrm dV/V=\mathrm dT/T-\mathrm dP/P$, sehingga

$$\mathrm dS=nc_V\frac{\mathrm dT}{T} +nR\left(\frac{\mathrm dT}{T}-\frac{\mathrm dP}{P}\right) =nc_P\frac{\mathrm dT}{T}-nR\frac{\mathrm dP}{P}.$$

Pertanyaan 3. Dengan menetapkan $\Delta S=0$ dan membagi dengan $nc_V$, diperoleh

$$\ln\frac{T_F}{T_I}+\frac{R}{c_V}\ln\frac{V_F}{V_I}=0.$$

Dengan $\gamma=c_P/c_V$ dan $R/c_V=\gamma-1$, sifat-sifat logaritma memberikan

$$\ln\left[\frac{T_F}{T_I}\left(\frac{V_F}{V_I}\right)^{\gamma-1}\right]=0.$$

Argumen logaritma adalah 1: $T_FV_F^{\gamma-1}=T_IV_I^{\gamma-1}$, yaitu $TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$. Mengganti $T$ dengan $PV/(nR)$ juga menghasilkan $PV^\gamma=\mathrm{const}$. Pada proses adiabatik reversibel, $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$, sehingga $\mathrm dS=0$ pada setiap langkah: prosesnya isentropik.

Pertanyaan 4. Untuk satu mol, $nc_V=3R/2$ dan $nR=R$. Pada (a), $T_F/T_I=1$ dan $V_F/V_I=2$:

$$\Delta S_a=\frac32R\ln1+R\ln2=R\ln2\simeq5{,}76\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

Pada (b), $T_F/T_I=600/300=2$ dan $V_F/V_I=1$:

$$\Delta S_b=\frac32R\ln2+R\ln1\simeq8{,}64\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

Untuk dua proses berurutan, perubahan dijumlahkan: $\Delta S=\Delta S_a+\Delta S_b=(5/2)R\ln2\simeq14{,}4\ \mathrm{J\,K^{-1}}$. Nilai numerik menggunakan $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$.