Latihan termodinamika dengan pembahasan

Bola bermuatan dan persoalan keekstensifan

Latihan 16 · Pelajaran 4 — Hukum Pertama Termodinamika

interaksi Coulomb
energi elektrostatik
keekstensifan
kenetralan listrik

Soal

Muatan total $Q > 0$ tersebar secara seragam di dalam volume sebuah bola berjari-jari $R$ , dalam ruang hampa. Kendala-kendala tertentu mempertahankan distribusi ini; di sini hanya energi elektrostatiknya $U_{el}$ yang dihitung. Bola ini bukan bola konduktor, yang muatannya pada kesetimbangan akan berada di permukaan.

Distribusi muatan dirakit dengan mendatangkan kulit-kulit bermuatan dari jauh tak berhingga. Untuk muatan $Q (r)$ yang sudah terakit dalam bola pejal berjari-jari $r$ , potensial di permukaannya ialah $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , dengan $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . Energi bernilai nol untuk elemen-elemen muatan yang terpisah tak berhingga jauhnya.

Gambarlah satu tahap perakitan. Nyatakan $Q (r)$ dan $d Q$ sebagai fungsi $Q, R, r$ , dan $d r$ , lalu hitung $U_{el}$ .
Dalam model kontinu dengan $N$ penyusun bermuatan sama $q_{0}$ , tuliskan $Q = N q_{0}$ . Pada kerapatan partikel tetap, tuliskan $R = r_{0} N^{1/3}$ dan tentukan bagaimana energi bergantung pada $N$ . Bandingkan tanda dan derajat kehomogenannya dengan gravitasi.
Pada muatan total tetap, hitung perubahan energi selama pemuaian dari $R_{A}$ ke $R_{B} > R_{A}$ . Apa tanda kerja luar yang diterima jika pemuaian ini kuasistatik dan tanpa disipasi? Ungkapan kerja ini hanya menyatakan sumbangan listriknya.
Untuk muatan-muatan yang berbeda tanda, energi interaksi mikroskopik ditulis $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
Mengapa hukum yang diperoleh untuk bola bermuatan satu tanda saja tidak membuktikan bahwa semua materi biasa tidak ekstensif? Apakah muatan total nol cukup untuk membuat jumlah ini sama dengan nol?

Petunjuk

Gunakan

d U_{el} = Φ (r) d Q

. Konstruksi lapis demi lapis menghitung setiap pasangan satu kali. Untuk pertanyaan terakhir, tinjau sepasang muatan sederhana

+ q_{0}

dan

- q_{0}

yang terpisah sejauh

a

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Gambar memperlihatkan bola pejal yang sudah bermuatan, berjari-jari

r

, dan kulit yang didatangkan, setebal

d r

. Rapat muatan volume yang konstan ialah

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. Akibatnya,

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

Perubahan energi saat penambahan ialah

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Dengan menjumlahkan sumbangan dari pusat hingga permukaan,

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

Interaksi setiap pasangan lapisan dihitung tepat satu kali; tidak diperlukan faktor $1/2$ tambahan. Hasilnya positif: kita harus melawan tolak-menolak untuk merakit muatan-muatan itu. Hasil kali $k_{e} Q^{2} / R$ dinyatakan dalam joule.

Pertanyaan 2. Pada kerapatan partikel

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

tetap, berlaku

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Dengan substitusi,

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Energi ini berderajat $5/3$ , sehingga tidak ekstensif. Energinya per partikel tumbuh sebanding dengan $N^{2/3}$ . Derajatnya sama dengan derajat bola gravitasi karena kedua potensial meluruh sebanding dengan $1/ r$ ; tandanya berlawanan, karena muatan-muatan sejenis saling tolak-menolak. Model kontinu ini menggambarkan sumbangan kolektif, tanpa menghitung energi diri muatan-muatan titik.

Pertanyaan 3. Pada

Q

tetap, selisihnya ialah

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

Dalam proses kuasistatik tanpa disipasi, sumbangan listrik pada kerja yang diterima sama dengan perubahan energi potensial. Hal ini juga dapat diperiksa dengan integrasi:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

Agen luar menahan muatan-muatan yang saling tolak-menolak dan menerima kerja selama pemuaian. Penyimpanan energi lain di dalam perangkat penahan tidak dimasukkan dalam neraca listrik ini.

Pertanyaan 4. Untuk muatan-muatan sejenis, semua hasil kali

q_{i} q_{j}

positif: sumbangannya saling menjumlah. Sebaliknya, dalam materi yang netral secara listrik terdapat sumbangan tarik-menarik dan tolak-menolak yang dapat saling mengimbangi pada jarak jauh. Kenetralan dan, dalam medium tempat efek ini berperan, penapisan dengan demikian mengubah penalaran yang didasarkan pada penjumlahan suku-suku yang semuanya bertanda sama. Namun kenetralan total tidak berarti

U_{el} = 0

. Dua muatan

+ q_{0}

dan

- q_{0}

yang terpisah sejauh

a

memiliki muatan total nol tetapi energi interaksi

- k_{e} q_{0}^{2} / a

yang tidak nol. Organisasi dan korelasi antarmuatan harus diketahui untuk menetapkan suatu hukum penskalaan. Jadi perhitungan bola bermuatan seragam bukanlah bukti bahwa semua materi tidak ekstensif, dan bukan pula bukti bahwa sistem netral bersifat ekstensif.