Latihan termodinamika dengan pembahasan

Memilah relasi fundamental calon

Latihan 34 · Pelajaran 7 — Struktur Matematis: Hubungan Fundamental

relasi fundamental
keekstensifan
fungsi homogen
suhu positif
persamaan keadaan
adiabatik reversibel
relasi Euler

Soal

Diusulkan tiga relasi fundamental untuk sistem sederhana dengan jumlah partikel $N$ yang dapat berubah. Pada masing-masing, $a > 0$ dan $b > 0$ adalah konstanta, dan ditinjau $U > 0$ , $V > 0$ , $N > 0$ , serta $S \geq 0$ :

(1) S = a N U V, (2) S = b \frac{N ^{3}}{U V}, (3) U = a \frac{S ^{4}}{N V ^{2}} .

Relasi fundamental yang dapat diterima harus ekstensif, yaitu homogen berderajat satu dalam variabel-variabel ekstensifnya, dan menghasilkan suhu positif.

Periksa keekstensifan masing-masing dari ketiga relasi, lalu tanda suhu yang diramalkannya. Tunjukkan bahwa hanya satu yang dapat diterima.
Untuk relasi yang dapat diterima, turunkan ketiga persamaan keadaan yang memberikan $T$ , $P$ , dan $μ$ sebagai fungsi $S$ , $V$ , dan $N$ . Periksa bahwa ketiga besaran ini intensif, lalu periksa relasi Euler $U = T S - P V + μ N$ .
Periksa bahwa suhunya positif. Simpulkan bahwa $U$ merupakan fungsi naik dari $S$ , dan bahwa relasi ini dapat dibalik menjadi relasi $S (U, V, N)$ . Berapa suhunya ketika $S$ menuju $0$ ?
Turunkan persamaan keadaan yang hanya melibatkan $P$ , $V$ , $T$ , dan $N$ .
Tentukan persamaan adiabat reversibel dalam diagram $(P, V)$ , pada $N$ tetap.

Petunjuk

Untuk keekstensifan, ganti

(U, V, N)

atau

(S, V, N)

dengan

(λ U, λV, λ N)

atau

(λ S, λV, λ N)

dan cari pangkat

λ

yang diperoleh. Dalam representasi energi,

T = (\partial U / \partial S)_{V, N}

P = - (\partial U / \partial V)_{S, N}

, dan

μ = (\partial U / \partial N)_{S, V}

. Adiabat reversibel adalah proses pada entropi konstan.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Kalikan semua variabel ekstensif dengan

λ > 0

. Untuk relasi (1),

a (λ N) (λ U) (λV) = a λ^{3} N U V = λ^{3/2} a N U V .

Relasi ini homogen berderajat $3/2$ , bukan berderajat satu: menggandakan ukuran sistem akan mengalikan entropinya dengan $2^{3/2} \approx 2, 8$ . Relasi ini tidak ekstensif dan harus ditolak.

Untuk relasi (2),

b \frac{( λ N ) ^{3}}{( λ U ) ( λV )} = b \frac{λ ^{3} N ^{3}}{λ ^{2} U V} = λ b \frac{N ^{3}}{U V} .

Relasi ini memang ekstensif. Namun turunannya terhadap $U$ ialah

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, N} = - b \frac{N ^{3}}{U ^{2} V} < 0,

yang akan memberikan suhu negatif. Relasi ini juga harus ditolak.

Untuk relasi (3),

a \frac{( λ S ) ^{4}}{( λ N ) ( λV ) ^{2}} = a \frac{λ ^{4} S ^{4}}{λ ^{3} N V ^{2}} = λ a \frac{S ^{4}}{N V ^{2}} .

Relasi ini ekstensif. Pada pertanyaan 3 akan kita periksa bahwa suhunya positif: inilah satu-satunya relasi yang dapat diterima.

Pertanyaan 2. Turunkan

U = a S^{4} N^{- 1} V^{- 2}

terhadap setiap variabel, dengan dua variabel lainnya tetap:

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V, N} = \frac{4 a S ^{3}}{N V ^{2}}, P = - (\frac{\partial U}{\partial V})_{S, N} = - a \frac{S ^{4}}{N} \cdot (- 2) V^{- 3} = \frac{2 a S ^{4}}{N V ^{3}}, μ = (\frac{\partial U}{\partial N})_{S, V} = a \frac{S ^{4}}{V ^{2}} \cdot (- 1) N^{- 2} = - \frac{a S ^{4}}{N ^{2} V ^{2}} .

Kalikan $S$ , $V$ , dan $N$ dengan $λ$ . Pembilang $T$ memperoleh faktor $λ^{3}$ , demikian pula penyebutnya: $T$ tidak berubah. Untuk $P$ diperoleh $λ^{4} / λ^{1 + 3} = 1$ , dan untuk $μ$ , $λ^{4} / λ^{2 + 2} = 1$ . Jadi ketiga besaran ini intensif.

Dengan membandingkannya dengan

U = a S^{4} / (N V^{2})

, kita kenali

T S = \frac{4 a S ^{4}}{N V ^{2}} = 4 U, P V = \frac{2 a S ^{4}}{N V ^{2}} = 2 U, μ N = - \frac{a S ^{4}}{N V ^{2}} = - U,

sehingga $T S - P V + μ N = 4 U - 2 U - U = U$ : relasi Euler terpenuhi.

Pertanyaan 3. Karena

a > 0

N > 0

V^{2} > 0

, dan

S \geq 0

, berlaku

T = 4 a S^{3} / (N V^{2}) \geq 0

, dengan kesamaan hanya untuk

S = 0

. Untuk

S > 0

, turunan

(\partial U / \partial S)_{V, N} = T

positif sejati:

U

merupakan fungsi naik sejati dari

S

, pada

V

dan

N

tetap. Karena itu fungsi ini dapat dibalik. Dengan memangkatkan

1/4

S (U, V, N) = (\frac{N V ^{2} U}{a})^{1/4} .

Ketika $S$ menuju $0$ , $T = 4 a S^{3} / (N V^{2})$ menuju $0$ : entropi menjadi nol pada suhu nol, sebagaimana dituntut oleh hukum ketiga yang akan kita jumpai nanti.

Pertanyaan 4. Kita harus mengeliminasi

S

dari ungkapan

T

dan

P

. Ungkapan

T

memberikan

S^{3} = \frac{T N V ^{2}}{4 a} ⟹ S = (\frac{T N V ^{2}}{4 a})^{1/3} .

Karena $S^{4} = S \cdot S^{3}$ , substitusikan ke dalam $P$ :

P = \frac{2 a}{N V ^{3}} S^{4} = \frac{2 a}{N V ^{3}} \cdot \frac{T N V ^{2}}{4 a} \cdot S = \frac{T}{2 V} (\frac{T N V ^{2}}{4 a})^{1/3} .

Pangkatkan tiga untuk menghilangkan akarnya:

P^{3} = \frac{T ^{3}}{8 V ^{3}} \cdot \frac{T N V ^{2}}{4 a} = \frac{N T ^{4}}{32 aV}, yaitu 32 a P^{3} V = N T^{4} .

Untuk sistem ini, persamaan tersebut merupakan padanan persamaan $P V = N k_{B} T$ gas ideal.

Pertanyaan 5. Sepanjang adiabat reversibel, entropi konstan, dan

N

tetap. Dalam

P = \frac{2 a S ^{4}}{N} \cdot \frac{1}{V ^{3}},

faktor $2 a S^{4} / N$ dengan demikian konstan, sehingga

P V^{3} = const .

Dalam diagram $(P, V)$ , adiabat reversibel berupa kurva $P \propto V^{- 3}$ , lebih curam daripada adiabat $P \propto V^{- 5/3}$ gas ideal monoatomik.