Latihan termodinamika dengan pembahasan

Memeriksa relasi Maxwell pada adiabat

Latihan 35 · Pelajaran 7 — Struktur Matematis: Hubungan Fundamental

relasi Maxwell
gas ideal
adiabatik
kapasitas kalor molar
turunan parsial

Soal

Untuk sistem tertutup dengan komposisi tetap,

d U = T d S - P d V .

Tinjau gas ideal dengan kapasitas kalor molar $c_{V}$ konstan, dan tuliskan $γ = c_{P} / c_{V}$ , dengan $c_{P} - c_{V} = R$ .

Dari diferensial $U (S, V)$ , turunkan relasi Maxwell $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
Hitung ruas kiri dari $T V^{γ - 1} = const$ .
Hitung ruas kanan secara terpisah dengan menggunakan $P = n R T / V$ dan $d S = n c_{V} d T / T$ pada volume konstan.
Periksa bahwa kedua hasil itu sama.

Petunjuk

Pada pertanyaan 1, kenali

T = (\partial U / \partial S)_{V}

dan

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

, lalu tukar urutan penurunannya.

Pembahasan terperinci

Solusi

1. Variabel alami

U

adalah

S

dan

V

. Karena itu

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Karena turunan silang $U$ sama,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. Pada adiabat reversibel, $T V^{γ - 1} = K$ . Dengan mendiferensialkan pada entropi konstan,

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

Setelah dibagi dengan $V^{γ - 1} d V$ ,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. Pada volume konstan, $P = n R T / V$ , sehingga

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Padahal $d S = n c_{V} d T / T$ pada volume konstan, sehingga $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Jadi

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. Relasi Mayer memberikan $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . Dengan demikian ruas kanan bernilai $- (γ - 1) T / V$ , tepat sama dengan ruas kiri.