Latihan termodinamika dengan pembahasan

Membaca relasi fundamental

Latihan 33 · Pelajaran 7 — Struktur Matematis: Hubungan Fundamental

relasi fundamental
suhu
tekanan
potensial kimia
keekstensifan
gas ideal

Soal

Tinjau $n$ mol gas yang entropinya diberikan oleh

S (U, V, n) = n s_{0} + n c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) + n R ln (\frac{V}{n v _{0}}),

dengan $s_{0}$ , $u_{0}$ , $v_{0}$ , dan kapasitas kalor molar $c_{V}$ berupa konstanta positif. Ingat bahwa

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n}, \frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} .

Periksa secara langsung bahwa $S$ ekstensif.
Temukan kembali persamaan $U = n c_{V} T$ dan $P V = n R T$ .
Hitung $μ$ dan periksa relasi Euler $U = T S - P V + μ n$ .
Jelaskan mengapa relasi $P V = n R T$ saja tidak cukup untuk menentukan suhu dan tekanan dari $(U, V, n)$ .

Petunjuk

Untuk keekstensifan, ganti

(U, V, n)

dengan

(λ U, λV, λn)

. Saat menurunkan terhadap

n

, jangan lupa bahwa

n

muncul baik di depan logaritma maupun di dalam penyebutnya.

Pembahasan terperinci

Solusi

1. Untuk

λ > 0

S (λ U, λV, λn) = λn s_{0} + λn c_{V} ln (\frac{λ U}{λn u _{0}}) + λn R ln (\frac{λV}{λn v _{0}}) .

Faktor-faktor $λ$ di dalam logaritma saling menghilangkan. Tersisa $S (λ U, λV, λn) = λ S (U, V, n)$ : fungsi ini memang homogen berderajat satu, jadi ekstensif.

2. Pada

V

dan

n

tetap,

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n} = n c_{V} \frac{1}{U},

sehingga $U = n c_{V} T$ . Demikian pula,

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n} = n R \frac{1}{V} .

Dengan mengalikan dengan $T V$ , diperoleh $P V = n R T$ .

3. Pada

U

dan

V

tetap,

(\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} = s_{0} + c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) - c_{V} + R ln (\frac{V}{n v _{0}}) - R .

Jadi

μ = T [c_{V} + R - \frac{S}{n}] .

Padahal $U / n = c_{V} T$ dan $P V / n = R T$ . Akibatnya

T S - P V + μ n = T S - n R T + n T (c_{V} + R - \frac{S}{n}) = n c_{V} T = U .

4. Persamaan $P V = n R T$ menghubungkan $P$ , $V$ , dan $T$ , tetapi tidak menyatakan bagaimana energi bergantung pada suhu. Relasi kalorik $U = n c_{V} T$ memberikan informasi yang kurang itu. Relasi fundamental memuat kedua persamaan keadaan ini sekaligus dan juga menetapkan potensial kimia.