Latihan termodinamika dengan pembahasan

Gibbs–Duhem dan potensial kimia gas ideal

Latihan 36 · Pelajaran 7 — Struktur Matematis: Hubungan Fundamental

Gibbs-Duhem
potensial kimia
gas ideal
keekstensifan
kompresi isotermal

Soal

Sebuah zat murni yang homogen memenuhi

U = T S - P V + μ n, d U = T d S - P d V + μ d n .

Diferensialkan relasi Euler dan, dengan membandingkannya dengan relasi fundamental, turunkan relasi Gibbs–Duhem.
Dengan memperkenalkan entropi molar $s = S / n$ dan volume molar $v = V / n$ , tunjukkan bahwa $d μ = - s d T + v d P .$
Pada suhu konstan, integralkan relasi ini untuk gas ideal di antara tekanan $P_{1}$ dan $P_{2}$ .
Untuk $P_{2} > P_{1}$ , tentukan tanda $μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1})$ dan tafsirkan secara fisis.

Petunjuk

Untuk gas ideal, volume molarnya ialah

v = R T / P

Pembahasan terperinci

Solusi

1. Diferensial relasi Euler ialah

d U = T d S + S d T - P d V - V d P + μ d n + n d μ .

Dengan mengurangkan relasi fundamental, suku-suku dalam $d S$ , $d V$ , dan $d n$ saling menghilangkan. Tersisa

S d T - V d P + n d μ = 0.

2. Bagi kesamaan ini dengan $n$ :

s d T - v d P + d μ = 0,

yaitu $d μ = - s d T + v d P$ .

3. Pada suhu konstan,

d T = 0

. Untuk gas ideal,

d μ = v d P = \frac{R T}{P} d P .

Dengan mengintegralkan menggunakan batas-batas eksplisit,

μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1}) = R T \int_{P_{1}}^{P_{2}} \frac{d P}{P} = R T ln (\frac{P _{2}}{P _{1}}) .

4. Jika $P_{2} > P_{1}$ , maka $P_{2} / P_{1} > 1$ dan $ln (P_{2} / P_{1}) > 0$ . Karena $R > 0$ dan $T > 0$ ,

μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1}) > 0.

Jadi mengompresi gas secara isotermal menaikkan potensial kimianya. Jika dua daerah bersuhu sama dapat bertukar materi, perpindahan spontan berlangsung dari daerah berpotensial kimia tinggi ke daerah berpotensial kimia rendah, hingga kedua potensial itu sama.