Latihan termodinamika dengan pembahasan

Latihan materi: hukum Laplace

Latihan 10 · Pelajaran 5 — Penerapan pada gas ideal

  • latihan materi
  • hukum Laplace
  • indeks adiabatik
  • gamma
  • ekspansi adiabatik
  • hukum pertama dalam bentuk diferensial

Soal

Tinjaulah nn mol gas ideal dengan indeks adiabatik γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V yang dianggap konstan. Sistem dianggap tertutup. Gunakan hubungan Mayer cP−cV=Rc_P - c_V = R (lihat latihan tentang penemuan cPc_P).

  1. Tunjukkan bahwa cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. Gas mengalami transformasi adiabatik kuasistatik dengan asumsi Pext=PP_{\text{ext}} = P. Dengan memulai dari hukum pertama dalam bentuk diferensial, tunjukkan bahwa dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, kemudian simpulkan bahwa TVγ−1=konstanTV^{\gamma-1} = \text{konstan} sepanjang transformasi.
  3. Turunkan dua bentuk lain hukum Laplace: PVγ=konstanPV^\gamma = \text{konstan} dan TγP1−γ=konstanT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{konstan}.
  4. Tinjaulah ekspansi semacam ini yang menggandakan volume gas monoatomik (γ=5/3\gamma = 5/3), dengan n=1n = 1 mol dan suhu awal Ti=300T_i = 300 K. Hitung TfT_f, kemudian ΔT\Delta T dan WW, serta berikan komentar mengenai tanda ΔT\Delta T dan WW.
  5. Dalam diagram Clapeyron (P,V)(P,V), bandingkan pada titik yang sama kemiringan adiabat semacam ini dengan kemiringan isoterm.

Petunjuk
Untuk pertanyaan 2: dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T dan δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V dengan P=nRT/VP = nRT/V, kemudian pisahkan variabel. Untuk pertanyaan 5, diferensialkan PVγ=konstanPV^\gamma = \text{konstan} dan PV=konstanPV = \text{konstan}.

Pembahasan terperinci

Solusi
Pertanyaan 1. Dari cP=γcVc_P = \gamma c_V dan cP−cV=Rc_P - c_V = R, diperoleh cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R, yang menghasilkan kedua rumus tersebut.

Pertanyaan 2. Untuk proses adiabatik, δQ=0\delta Q = 0, sehingga dU=δW\mathrm{d}U = \delta W, yaitu ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V. Dengan cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1):

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Dengan mengintegralkan: ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=konstan\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{konstan}, yaitu TVγ−1=konstanTV^{\gamma-1} = \text{konstan}.

Pertanyaan 3. Dengan menyubstitusikan T=PV/(nR)T = PV/(nR) diperoleh PVγ=konstanPV^\gamma = \text{konstan} karena nn konstan. Dengan menyubstitusikan V=nRT/PV = nRT/P, diperoleh T(TP)γ−1=konstanT \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{konstan}, sehingga TγP1−γ=konstanT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{konstan}.

Pertanyaan 4. Cara paling sederhana adalah menggunakan hukum Laplace TVγ−1=konstanT V^{\gamma - 1} = \text{konstan}, yang memberikan: TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}, yaitu Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K. Perhatikan bahwa suhu harus dinyatakan dalam kelvin pada perhitungan ini agar tidak terjadi kesalahan! Dari sini diperoleh ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K. Untuk kerja, karena Q=0Q = 0:

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0: gas memberikan kerja kepada lingkungan selama ekspansi. Karena tidak dapat mengambilnya dari sumber kalor mana pun (Q=0Q=0), gas mengambil energi dari energi dalamnya, sehingga terjadi pendinginan ΔT<0\Delta T < 0.

Pertanyaan 5. Dengan mendiferensialkan PV=konstanPV = \text{konstan}: (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}. Dengan mendiferensialkan PVγ=konstanPV^\gamma = \text{konstan}: (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}. Adiabat memiliki kemiringan γ\gamma kali lebih curam daripada isoterm: kompresi tanpa melepaskan kalor membuat tekanan meningkat lebih cepat karena suhu juga meningkat.