Latihan termodinamika dengan pembahasan

Latihan materi: hukum Laplace

Latihan 18 · Pelajaran 5 — Penerapan pada gas ideal

latihan materi
hukum Laplace
indeks adiabatik
gamma
ekspansi adiabatik
hukum pertama dalam bentuk diferensial

Soal

Tinjaulah $n$ mol gas ideal dengan indeks adiabatik $γ = c_{P} / c_{V}$ yang dianggap konstan. Sistem dianggap tertutup. Gunakan hubungan Mayer $c_{P} - c_{V} = R$ (lihat latihan tentang penemuan $c_{P}$ ).

Tunjukkan bahwa $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
Gas mengalami transformasi adiabatik kuasistatik dengan asumsi $P_{ext} = P$ . Dengan memulai dari hukum pertama dalam bentuk diferensial, tunjukkan bahwa $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ kemudian simpulkan bahwa $T V^{γ - 1} = konstan$ sepanjang transformasi.
Turunkan dua bentuk lain hukum Laplace: $P V^{γ} = konstan$ dan $T^{γ} P^{1 - γ} = konstan$ .
Tinjaulah ekspansi semacam ini yang menggandakan volume gas monoatomik ( $γ = 5/3$ ), dengan $n = 1$ mol dan suhu awal $T_{i} = 300$ K. Hitung $T_{f}$ , kemudian $Δ T$ dan $W$ , serta berikan komentar mengenai tanda $Δ T$ dan $W$ .
Dalam diagram Clapeyron $(P, V)$ , bandingkan pada titik yang sama kemiringan adiabat semacam ini dengan kemiringan isoterm.

Petunjuk

Untuk pertanyaan 2:

d U = n c_{V} d T

dan

δ W = - P d V

dengan

P = n R T / V

, kemudian pisahkan variabel. Untuk pertanyaan 5, diferensialkan

P V^{γ} = konstan

dan

P V = konstan

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Dari

c_{P} = γ c_{V}

dan

c_{P} - c_{V} = R

, diperoleh

c_{V} (γ - 1) = R

, yang menghasilkan kedua rumus tersebut. Pertanyaan 2. Untuk proses adiabatik,

δ Q = 0

, sehingga

d U = δ W

, yaitu

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. Dengan

c_{V} = R / (γ - 1)

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

Dengan mengintegralkan: $ln T + (γ - 1) ln V = konstan$ , yaitu $T V^{γ - 1} = konstan$ .

Pertanyaan 3. Dengan menyubstitusikan

T = P V / (n R)

diperoleh

P V^{γ} = konstan

karena

n

konstan. Dengan menyubstitusikan

V = n R T / P

, diperoleh

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = konstan

, sehingga

T^{γ} P^{1 - γ} = konstan

. Pertanyaan 4. Cara paling sederhana adalah menggunakan hukum Laplace

T V^{γ - 1} = konstan

, yang memberikan:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, yaitu

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. Perhatikan bahwa suhu harus dinyatakan dalam kelvin pada perhitungan ini agar tidak terjadi kesalahan! Dari sini diperoleh

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. Untuk kerja, karena

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : gas memberikan kerja kepada lingkungan selama ekspansi. Karena tidak dapat mengambilnya dari sumber kalor mana pun ( $Q = 0$ ), gas mengambil energi dari energi dalamnya, sehingga terjadi pendinginan $Δ T < 0$ .

Pertanyaan 5. Dengan mendiferensialkan

P V = konstan

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

. Dengan mendiferensialkan

P V^{γ} = konstan

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

. Adiabat memiliki kemiringan

γ

kali lebih curam daripada isoterm: kompresi tanpa melepaskan kalor membuat tekanan meningkat lebih cepat karena suhu juga meningkat.