Latihan termodinamika dengan pembahasan

Kerja pada transformasi politropik $P V^{k} = konstan$

Latihan 22 · Pelajaran 5 — Penerapan pada gas ideal

transformasi politropik
kerja gaya tekanan
hukum Laplace

Soal

Tinjaulah transformasi kuasistatik gas ideal sedemikian rupa sehingga $P V^{k} = konstan$ , dengan $k \in R$ dan $k \neq = 1$ .

Hitung $W_{A \to B}$ sebagai fungsi $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ , dan $k$ .
Peroleh kembali hasil untuk proses isobarik ( $k = 0$ ).
Berapakah nilainya untuk proses isokhorik (tanpa menggunakan rumus sebelumnya)?
Apa yang terjadi untuk $k = 1$ ? Peroleh kembali $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

Petunjuk

Tetapkan

P (V) = C V^{- k}

dengan

C = P_{A} V_{A}^{k}

, integralkan, lalu gunakan

C V^{1 - k} = P V

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Hubungan politropik dapat ditulis

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

Kerja yang diterima gas, dengan konvensi bankir, adalah

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

Untuk $k \neq = 1$ , antiturunan $V^{- k}$ adalah $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Dengan demikian,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Karena

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Akhirnya,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Pertanyaan 2. Untuk $k = 0$ , hubungan $P V^{0} = C$ menjadi $P = C$ : transformasi bersifat isobarik. Karena $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Kita memperoleh kembali bentuk langsung kerja isobarik.

Pertanyaan 3. Untuk transformasi isokhorik,

V_{B} = V_{A}

dan

d V = 0

setiap saat. Oleh karena itu,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Transformasi isokhorik nontrivial tidak bersesuaian dengan nilai hingga $k$ mana pun: jika $V$ konstan, hubungan $P V^{k} = konstan$ juga mengharuskan $P$ konstan. Proses isokhorik hanya dapat dipandang sebagai limit formal $k \to \infty$ .

Pertanyaan 4. Untuk

k = 1

, integran sebanding dengan

1/ V

: antiturunannya bukan lagi fungsi pangkat, melainkan logaritma. Karena itu, integrasi harus dilakukan kembali secara terpisah. Hubungan politropik menjadi

P V = C .

Untuk gas ideal tertutup, $P V = n R T$ ; dengan demikian suhu konstan dan $C = n R T$ . Kerja yang diterima kemudian adalah

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Untuk kompresi, $V_{B} / V_{A} < 1$ , sehingga logaritmanya negatif dan $W_{A \to B} > 0$ , seperti yang diharapkan.