Kerja pada transformasi politropik $PV^k=\text{konstan}$

Pertanyaan 1. Hubungan politropik dapat ditulis

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

Kerja yang diterima gas, dengan konvensi bankir, adalah

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

Untuk $k\neq1$, antiturunan $V^{-k}$ adalah $V^{1-k}/(1-k)$. Dengan demikian,

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Karena

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Akhirnya,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Pertanyaan 2. Untuk $k=0$, hubungan $PV^0=C$ menjadi $P=C$: transformasi bersifat isobarik. Karena $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

Kita memperoleh kembali bentuk langsung kerja isobarik.

Pertanyaan 3. Untuk transformasi isokhorik, $V_B=V_A$ dan $\mathrm{d}V=0$ setiap saat. Oleh karena itu,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Transformasi isokhorik nontrivial tidak bersesuaian dengan nilai hingga $k$ mana pun: jika $V$ konstan, hubungan $PV^k=\text{konstan}$ juga mengharuskan $P$ konstan. Proses isokhorik hanya dapat dipandang sebagai limit formal $k\to\infty$.

Pertanyaan 4. Untuk $k=1$, integran sebanding dengan $1/V$: antiturunannya bukan lagi fungsi pangkat, melainkan logaritma. Karena itu, integrasi harus dilakukan kembali secara terpisah. Hubungan politropik menjadi

$$PV=C.$$

Untuk gas ideal tertutup, $PV=nRT$; dengan demikian suhu konstan dan $C=nRT$. Kerja yang diterima kemudian adalah

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

Untuk kompresi, $V_B/V_A<1$, sehingga logaritmanya negatif dan $W_{A\to B}>0$, seperti yang diharapkan.