Soal

Tinjaulah $n$ mol gas ideal monoatomik, dengan $U=\frac{3}{2}nRT$ , yang menjalani secara kuasistatik siklus persegi panjang berlawanan arah jarum jam

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

dengan $V_2>V_1$ dan $P_2>P_1$ . Kita nyatakan

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

Siklus refrigerasi ini digunakan sebagai model mesin pendingin. Koefisien performa pendinginan (COP) didefinisikan sebagai

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

dengan $Q_f>0$ adalah kalor total yang diserap gas pada cabang-cabang tempat gas menerima kalor, dan $W_{\mathrm{cycle}}>0$ adalah kerja neto yang diterimanya.

Gambarkan siklus dalam diagram Clapeyron $(P,V)$ dan tentukan sifat setiap cabang.
Hitung kerja yang diterima pada masing-masing dari keempat cabang sebagai fungsi $\Delta V$ ketika besaran ini berubah, kemudian kerja total sebagai fungsi $\Delta P$ dan $\Delta V$ . Peroleh kembali nilainya dari luas persegi panjang.
Nyatakan $\Delta U$ dan $Q$ pada setiap cabang sebagai fungsi $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $\Delta P$ , dan $\Delta V$ , dengan menggunakan $\Delta P$ pada proses isokhorik dan $\Delta V$ pada proses isobarik.
Verifikasi bahwa $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ dan $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ . Apakah siklus ini merupakan siklus daya atau siklus refrigerasi? Pada cabang mana gas menerima kalor dan pada cabang mana gas melepaskannya? Tafsirkan pertukaran ini dengan mengidentifikasi reservoir dingin dan reservoir panas: apakah yang didinginkan di sini?
Dari sini turunkan COP pendinginan siklus sebagai fungsi $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , dan $V_2$ .
Tafsirkan COP secara fisik. Mengapa nilainya dapat lebih besar dari 1, berbeda dengan efisiensi mesin kalor?
Penerapan numerik: $P_1=1{,}0$ bar, $P_2=3{,}0$ bar, $V_1=5{,}0$ L, dan $V_2=15{,}0$ L. Berikan $W$ dan $Q$ pada setiap cabang, kemudian neracanya selama siklus dan COP.

Petunjuk

Pada proses isokhorik,

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

dan kerja bernilai nol. Pada proses isobarik,

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

dan

W=-P\Delta V

. Setiap fungsi keadaan kembali ke nilai awalnya pada akhir siklus.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Titik

A

,

B

,

C

, dan

D

masing-masing terletak di kiri bawah, kanan bawah, kanan atas, dan kiri atas. Cabang

A\to B

dan

C\to D

bersifat isobarik;

B\to C

dan

D\to A

bersifat isokhorik. Lintasan

A\to B\to C\to D\to A

berlawanan arah jarum jam.

Gambar 1. Siklus persegi panjang isobarik—isokhorik dalam diagram Clapeyron.

Pertanyaan 2. Kerja yang diterima gas adalah

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

Kerja bernilai nol pada proses isokhorik $B\to C$ dan $D\to A$ . Pada kedua proses isobarik,

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

Dengan demikian,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

Nilai ini memang sama dengan luas persegi panjang dalam diagram Clapeyron.

Pertanyaan 3. Untuk gas ideal monoatomik,

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

Pada proses isobarik, persamaan keadaan memberikan $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ . Oleh karena itu,

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

Pada proses isokhorik, persamaan itu memberikan $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ , sehingga

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

Terakhir, hukum pertama $\Delta U=Q+W$ , yaitu $Q=\Delta U-W$ , menghasilkan tabel ringkasan:

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Cabang} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

Pertanyaan 4. Jumlah perubahan energi dalam bernilai nol. Karena itu, hukum pertama mengharuskan

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

Secara keseluruhan gas menerima kerja: siklus ini merupakan siklus refrigerasi. Gas menerima kalor pada $A\to B$ dan $B\to C$ . Pada kedua cabang ini, gas menyerap kalor dari reservoir dingin yang bersentuhan dengannya: jadi reservoir luarlah (misalnya ruang dan makanan di dalam lemari es), bukan gas yang bersiklus itu sendiri, yang didinginkan.

Pada $C\to D$ dan $D\to A$ , sebaliknya, gas melepaskan kalor kepada reservoir panas, misalnya udara ruangan. Dengan menyatakan $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ sebagai kalor total yang diterima reservoir ini,

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

Dengan demikian, siklus memindahkan kalor dari reservoir dingin menuju reservoir panas berkat kerja yang diterimanya.

Pertanyaan 5. Kalor yang diserap gas adalah

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

Dari sini diperoleh

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

Pertanyaan 6. COP mengukur efek pendinginan yang diperoleh dibandingkan dengan kerja yang diinvestasikan: COP sebesar $k$ berarti bahwa setiap joule kerja yang diberikan memungkinkan penyerapan $k$ joule kalor dari reservoir dingin.

Berbeda dengan efisiensi mesin kalor, COP bukan fraksi energi yang diterima dan diubah menjadi kerja. Gas menerima baik kerja $W_{\mathrm{in}}$ maupun kalor $Q_f$ yang diserap dari reservoir dingin, kemudian melepaskan jumlah keduanya ke reservoir panas:

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

Karena itu, tidak ada alasan $Q_f$ harus lebih kecil daripada $W_{\mathrm{in}}$ , dan COP dapat lebih besar dari 1 tanpa bertentangan dengan kekekalan energi.

Pertanyaan 7. Di sini $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa dan $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m $^3$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Cabang} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

Dengan demikian, $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J, dan $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ . Kalor yang diserap adalah

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

sedangkan kalor yang dilepaskan kepada reservoir panas adalah

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

Dengan demikian, koefisien performa pendinginannya adalah

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.