Latihan termodinamika dengan pembahasan

Siklus refrigerasi persegi panjang?

Latihan 23 · Pelajaran 5 — Penerapan pada gas ideal

siklus termodinamika
siklus persegi panjang
diagram Clapeyron
kerja
kalor
luas
gas ideal
siklus refrigerasi
mesin pendingin

Soal

Tinjaulah $n$ mol gas ideal monoatomik, dengan $U = \frac{3}{2} n R T$ , yang menjalani secara kuasistatik siklus persegi panjang berlawanan arah jarum jam

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

dengan $V_{2} > V_{1}$ dan $P_{2} > P_{1}$ . Kita nyatakan

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Gambarkan siklus dalam diagram Clapeyron $(P, V)$ dan tentukan sifat setiap cabang.
Hitung kerja yang diterima pada masing-masing dari keempat cabang sebagai fungsi $Δ V$ ketika besaran ini berubah, kemudian kerja total sebagai fungsi $Δ P$ dan $Δ V$ . Peroleh kembali nilainya dari luas persegi panjang.
Nyatakan $Δ U$ dan $Q$ pada setiap cabang sebagai fungsi $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ , dan $Δ V$ , dengan menggunakan $Δ P$ pada proses isokhorik dan $Δ V$ pada proses isobarik.
Verifikasi bahwa $Δ U_{cycle} = 0$ dan $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . Apakah siklus ini siklus daya atau siklus penerima kerja? Pada cabang mana gas menerima kalor dan pada cabang mana gas melepaskannya? Tunjukkan bahwa kalor total yang dilepaskan gas, $Q_{out} > 0$ , sama dengan kalor total yang diterimanya, $Q_{in} > 0$ , ditambah kerja yang diterima $W_{cycle}$ .
Nyatakan suhu $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ , dan $T_{D}$ pada keempat titik sudut. Manakah yang terendah dan manakah yang tertinggi? Bagaimana suhu gas berubah sepanjang setiap cabang? Di antara suhu berapa gas menerima kalor, dan di antara suhu berapa gas melepaskannya?
Kita ingin menggunakan siklus ini sebagai lemari pendingin: mengambil kalor dari ruang pendingin yang dingin dan membuangnya ke udara ruangan yang lebih hangat. Agar suatu benda menerima kalor, sumber yang bersentuhan dengannya harus lebih panas daripada benda itu. Berapa suhu yang harus dimiliki sumber-sumber yang memberikan kalor kepada gas, dan sumber-sumber yang menerima kalor darinya? Dapatkah siklus ini berfungsi sebagai lemari pendingin?
Penerapan numerik: $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L, dan $V_{2} = 15, 0$ L. Hitung $W$ dan $Q$ pada setiap cabang, lalu $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ , dan $Q_{out}$ . Terakhir, hitung rasio $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ , dan $T_{D} / T_{A}$ , lalu simpulkan.

Petunjuk

Pada proses isokhorik,

n R Δ T = V Δ P

dan kerja bernilai nol. Pada proses isobarik,

n R Δ T = P Δ V

dan

W = - P Δ V

. Setiap fungsi keadaan kembali ke nilai awalnya pada akhir siklus.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Titik

A

B

C

, dan

D

masing-masing terletak di kiri bawah, kanan bawah, kanan atas, dan kiri atas. Cabang

A \to B

dan

C \to D

bersifat isobarik;

B \to C

dan

D \to A

bersifat isokhorik. Lintasan

A \to B \to C \to D \to A

berlawanan arah jarum jam.

Gambar 1. Siklus persegi panjang isobarik–isokhorik dalam diagram Clapeyron.

Pertanyaan 2. Kerja yang diterima gas adalah

W = - \int P_{ext} d V .

Kerja bernilai nol pada proses isokhorik $B \to C$ dan $D \to A$ . Pada kedua proses isobarik,

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Dengan demikian,

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Nilai ini memang sama dengan luas persegi panjang dalam diagram Clapeyron.

Pertanyaan 3. Untuk gas ideal monoatomik,

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

Pada proses isobarik, persamaan keadaan memberikan $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . Oleh karena itu,

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

Pada proses isokhorik, persamaan itu memberikan $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ , sehingga

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Terakhir, hukum pertama $Δ U = Q + W$ , yaitu $Q = Δ U - W$ , menghasilkan tabel ringkasan:

Cabang A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Pertanyaan 4. Jumlah perubahan energi dalam sama dengan nol, seperti untuk setiap fungsi keadaan selama satu siklus. Karena itu, hukum pertama memberikan

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

Secara keseluruhan gas menerima kerja: siklus ini adalah siklus penerima kerja. Menurut tabel, gas menerima kalor pada $A \to B$ dan $B \to C$ , serta melepaskannya pada $C \to D$ dan $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Dengan mengurangkan keduanya, serta memakai $P_{2} - P_{1} = Δ P$ dan $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ,

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

sehingga

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

Selama satu siklus, gas melepaskan dalam bentuk kalor seluruh energi yang diterimanya, baik kalor maupun kerja.

Pertanyaan 5. Persamaan keadaan memberikan

T = P V / (n R)

di setiap titik sudut:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Karena $P_{1} < P_{2}$ dan $V_{1} < V_{2}$ , hasil kali $P V$ paling kecil di $A$ dan paling besar di $C$ : $T_{A}$ adalah suhu terendah siklus, $T_{C}$ yang tertinggi, sedangkan $T_{B}$ dan $T_{D}$ berada di antaranya.

Pada isobar

A \to B

V

bertambah pada tekanan tetap, sehingga

T

naik dari

T_{A}

T_{B}

. Pada isokhor

B \to C

P

bertambah pada volume tetap, sehingga

T

naik dari

T_{B}

T_{C}

. Dengan cara yang sama,

T

turun dari

T_{C}

T_{D}

pada

C \to D

, lalu dari

T_{D}

T_{A}

pada

D \to A

. Jadi gas menerima kalor ketika suhunya naik dari nilai terendah

T_{A}

hingga nilai tertinggi

T_{C}

, dan melepaskan kalor ketika suhunya turun kembali dari

T_{C}

T_{A}

. Pertanyaan 6. Untuk menerima kalor, gas harus bersentuhan dengan sumber yang setidaknya sama panasnya dengan gas; dalam limit kuasistatik, suhu sumber mengikuti suhu gas. Karena itu, sumber-sumber yang memberikan kalor kepada gas memiliki suhu dari

T_{A}

hingga

T_{C}

, suhu tertinggi siklus. Sebaliknya, sumber-sumber yang menerima kalornya memiliki suhu dari

T_{C}

hingga

T_{A}

, suhu terendah siklus. Jadi tidak ada sisi dingin dan sisi panas yang terpisah: gas mengambil kalor dari sumber yang sangat panas dan memberikan kalor kepada sumber yang sangat dingin. Siklus ini tidak dapat berfungsi sebagai lemari pendingin, yang harus mengambil kalor pada suhu terendah dan membuangnya pada suhu tertinggi. Siklus ini menerima kerja dan mengembalikannya seluruhnya dalam bentuk kalor (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), sambil mendistribusikan ulang kalor di antara sumber-sumber bersuhu berbeda. Sebaliknya, lemari pendingin harus menyerap kalor pada bagian terdingin siklusnya dan membuangnya pada bagian terpanas. Hal ini terjadi pada siklus Carnot yang dijalankan dalam arah terbalik, yang dipelajari dalam Pelajaran 6: gas menerima kalor sepanjang isoterm dingin dan melepaskannya sepanjang isoterm panas. Jadi, siklus yang menerima kerja belum tentu merupakan siklus refrigerasi. Pertanyaan 7. Di sini

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa dan

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Cabang A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Jadi $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ , dan $Δ U_{cycle} = 0$ . Kalor yang diterima adalah $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ dan kalor yang dilepaskan $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . Rasio suhu tidak bergantung pada $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Seandainya suhu terendah siklus adalah suhu ruang pendingin, misalnya $T_{A} = 270 K$ , gas harus menerima kalor dari sumber-sumber bersuhu hingga $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . Jelas bahwa siklus seperti ini tidak mendinginkan ruang tersebut.