Latihan termodinamika dengan pembahasan

Gas foton di alam semesta

Latihan 39 · Pelajaran 7 — Struktur Matematis: Hubungan Fundamental

gas foton
radiasi
radiasi latar belakang gelombang mikro kosmik
relasi fundamental
ekspansi adiabatik
fungsi homogen
potensial kimia nol

Soal

Pada saat-saat awal alam semesta, materi berupa plasma panas yang terdiri atas inti atom, elektron, dan foton. Sekitar $T_{i} \approx 3000 K$ , atom-atom pertama terbentuk dan foton menjadi bebas. Anggaplah bahwa pada saat itu gas foton berada dalam kesetimbangan pada suhu $T_{i}$ , lalu menjalani ekspansi adiabatik reversibel seiring mengembangnya alam semesta. Kita terima relasi fundamentalnya

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

dengan $a$ suatu konstanta positif yang berdimensi. Entropi tidak bergantung pada jumlah foton $N$ : jumlah ini tidak kekal.

Ingat kembali definisi fungsi homogen berderajat satu dan tunjukkan bahwa $S$ adalah fungsi semacam itu.
Gambarkan bentuk $S$ sebagai fungsi $U$ pada $V$ tetap. Apakah fungsi ini cekung? Berikan komentar.
Tentukan $T$ , $P$ , dan $μ$ dari turunan-turunan $S$ . Tunjukkan khususnya bahwa $U = a^{4} V T^{4}$ dan $P = U / (3 V)$ , lalu beri komentar tentang nilai $μ$ .
Tuliskan hukum pertama untuk gas ini dan terapkan pada ekspansi adiabatik reversibel. Turunkan hubungan antara $U$ dan $V$ sepanjang proses ini.
Simpulkan bahwa $V T^{3}$ tetap konstan selama ekspansi.
Temukan kembali hasil ini secara langsung dari entropi yang dinyatakan sebagai fungsi $T$ dan $V$ .
Gas foton kini teramati pada $T_{f} \approx 3 K$ : inilah radiasi latar belakang gelombang mikro kosmik. Dengan faktor berapa volume alam semesta telah membesar sejak pemancaran itu?

Petunjuk

Dalam representasi entropi,

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

, dan

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. Untuk pertanyaan 4, proses adiabatik reversibel memenuhi

d S = 0

, sehingga

d U = - P d V

: pisahkan variabelnya.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Fungsi

f

dengan beberapa variabel homogen berderajat satu jika

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

untuk setiap

λ > 0

. Di sini,

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

Jadi entropi gas foton ekstensif.

Pertanyaan 2. Pada

V

tetap,

S

sebanding dengan

U^{3/4}

. Turunan pertamanya,

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

positif: $S$ naik bersama $U$ , dan suhunya positif. Turunan keduanya,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

negatif: $S$ cekung dalam $U$ . Kurvanya berawal dari titik asal dengan garis singgung tegak, lalu melengkung sambil tetap berada di atas tali-talinya. Kecekungan ini mencerminkan kestabilan kesetimbangan gas foton.

Pertanyaan 3. Menurut pertanyaan 2,

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

Turunan terhadap $V$ , pada $U$ tetap, ialah

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Padahal $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , sehingga

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Akhirnya, $S$ tidak bergantung pada $N$ , jadi $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . Potensial kimia foton nol: karena jumlahnya tidak kekal, jumlah itu menyesuaikan diri secara bebas pada kesetimbangan, dan menambahkan satu foton tidak memerlukan biaya apa pun.

Pertanyaan 4. Karena suku

μ d N

nol, relasi fundamental diferensial ditulis

d U = T d S - P d V

. Untuk ekspansi adiabatik reversibel,

d S = 0

, sehingga, dengan

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Dengan mengintegralkan antara keadaan awal dan sembarang keadaan selama ekspansi, $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , yaitu

U V^{1/3} = const .

Pertanyaan 5. Ganti $U$ dengan $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

Karena $a$ konstan, $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ konstan, sehingga $V^{1/3} T$ juga konstan; dengan memangkatkan tiga, $V T^{3} = const$ .

Pertanyaan 6. Nyatakan

S

sebagai fungsi

T

dan

V

dengan mengganti

U

dengan

a^{4} V T^{4}

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Ekspansi adiabatik reversibel bersifat isentropik: $S$ konstan, sehingga $V T^{3}$ juga konstan. Hasil pertanyaan 5 diperoleh kembali secara langsung.

Pertanyaan 7. Karena

V T^{3}

kekal,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

Volume alam semesta telah membesar satu miliar kali sejak pemancaran itu, yang bersesuaian dengan faktor $1 0^{3}$ pada jarak. Radiasi yang dipancarkan pada sekitar $3000 K$ , yang telah mendingin akibat pengembangan, adalah radiasi latar belakang gelombang mikro kosmik yang kini terukur pada $2, 7 K$ .