Latihan termodinamika dengan pembahasan

Ekspansi isentropik dan rekonstruksi relasi fundamental

Latihan 38 · Pelajaran 7 — Struktur Matematis: Hubungan Fundamental

relasi fundamental
ekspansi isentropik
persamaan keadaan
representasi entropi
syarat keterintegralan
besaran molar

Soal

Bagian A. Sebuah sistem dijelaskan oleh relasi fundamental molar

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

dengan $u$ , $v$ , dan $s$ masing-masing energi dalam, volume, dan entropi molar, $A > 0$ suatu konstanta, dan $R$ konstanta gas ideal. Keadaan awal dicirikan oleh suhu $T_{0}$ dan tekanan $P_{0}$ .

Nyatakan $T$ dan $P$ sebagai fungsi $u$ dan $v$ . Turunkan persamaan keadaan yang menghubungkan $P$ , $v$ , dan $T$ .
Sistem menjalani ekspansi isentropik hingga tekanannya menjadi seperdelapan. Nyatakan suhu akhir hanya sebagai fungsi $T_{0}$ .

Bagian B. Sistem lain, dengan jumlah zat tetap, mematuhi kedua persamaan keadaan

U = 2 P V, P = B T^{3},

dengan $B > 0$ suatu konstanta.

Nyatakan $1/ T$ dan $P / T$ sebagai fungsi $U$ dan $V$ .
Relasi fundamental $S (U, V)$ hanya dapat ada jika turunan silangnya sama: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ . Periksa syarat ini.
Tentukan relasi fundamental $S (U, V)$ hingga suatu konstanta. Periksa bahwa relasi ini memang menghasilkan kembali kedua persamaan keadaan, lalu bahwa relasi ini ekstensif.

Petunjuk

Bagian A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

dan

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

; sepanjang isentrop,

s

tetap dan semuanya dapat dinyatakan sebagai fungsi

v

. Bagian B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

. Integralkan dahulu

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

pada

V

tetap, dengan menambahkan fungsi

f (V)

, lalu tentukan

f

dengan bantuan

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Pada

v

tetap, turunan

e^{s / (3 R)}

terhadap

s

ialah

e^{s / (3 R)} / (3 R)

, sehingga

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

Pada $s$ tetap, turunan $v^{- 1/2}$ ialah $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ , sehingga

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

Relasi pertama memberikan $u = 3 R T$ . Dengan menyubstitusikannya ke relasi kedua,

P = \frac{3 R T}{2 v}, yaitu P v = \frac{3}{2} R T .

Pertanyaan 2. Sepanjang isentrop, $s$ konstan, sehingga $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ sebanding dengan $v^{- 1/2}$ . Akibatnya

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

Membagi tekanan dengan delapan mensyaratkan

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

Karena suhu sebanding dengan $v^{- 1/2}$ ,

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

Pertanyaan 3. Kedua persamaan keadaan memberikan $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ , sehingga

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

Selain itu $P / T = B T^{2}$ , dan dengan menyubstitusikan $T$ ,

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

Pertanyaan 4. Turunkan $1/ T$ terhadap $V$ , pada $U$ tetap:

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

Turunkan $P / T$ terhadap $U$ , pada $V$ tetap:

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

Karena $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ , hasil pertama juga dapat ditulis $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ : kedua turunan silang sama. Jadi bentuk $(1/ T) d U + (P / T) d V$ dapat merupakan diferensial suatu fungsi $S (U, V)$ . Dua persamaan keadaan yang dipilih sembarang pada umumnya tidak memenuhi syarat ini.

Pertanyaan 5. Pada

V

tetap, integralkan

1/ T

terhadap

U

. Salah satu antiturunan

U^{- 1/3}

ialah

\frac{3}{2} U^{2/3}

, sehingga

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

dengan $f$ fungsi yang hanya bergantung pada $V$ . Turunkan terhadap $V$ :

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

Padahal $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : suku pertama tepat sama dengan $P / T$ . Jadi harus $f^{'} (V) = 0$ , artinya $f$ konstan, dan

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

Sebaliknya, turunan fungsi ini menghasilkan kembali $1/ T$ dan $P / T$ dari pertanyaan 3, jadi juga kedua persamaan keadaan semula. Akhirnya, dengan mengalikan $U$ dan $V$ dengan $λ$ , hasil kali $V U^{2}$ terkalikan $λ^{3}$ dan akar pangkat tiganya terkalikan $λ$ : hingga suatu konstanta aditif, $S$ homogen berderajat satu, jadi ekstensif.