हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

दो अवस्थाओं के बीच दो पथों से कार्य और ऊष्मा

अभ्यास 19 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

दाब बलों का कार्य
ऊष्मा
समतापी
समआयतनी
क्लैपेरॉन आरेख
यथार्थ अवकल
आदर्श गैस

प्रश्न

हम एकपरमाणुक आदर्श गैस के $n$ मोल पर विचार करते हैं, जिसकी आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{3}{2} n R T$ है। अवस्था $A (T_{1}, V_{1})$ को अवस्था $B (T_{2}, V_{2})$ से दो अर्ध-स्थैतिक पथों द्वारा जोड़ा जाता है, जहाँ हर क्षण $P_{ext} = P$ है:

$Γ_{1}$ : $T_{1}$ पर $V_{1}$ से $V_{2}$ तक समतापी प्रसार, फिर $V_{2}$ पर $T_{1}$ से $T_{2}$ तक समआयतनी रूपांतरण;
$Γ_{2}$ : $V_{1}$ पर $T_{1}$ से $T_{2}$ तक समआयतनी रूपांतरण, फिर $T_{2}$ पर $V_{1}$ से $V_{2}$ तक समतापी प्रसार।

$T_{2} > T_{1}$ और $V_{2} > V_{1}$ की स्थिति में, पथों $Γ_{1}$ और $Γ_{2}$ को क्लैपेरॉन आरेख $(P, V)$ में दर्शाइए। मध्यवर्ती अवस्थाएँ और गति की दिशा बताइए।
दोनों पथों में से प्रत्येक पर प्राप्त कार्य $W_{1}$ और $W_{2}$ निकालिए। उनका अंतर $W_{1} - W_{2}$ कितना है?
दोनों समाकल अलग-अलग फिर से किए बिना, क्लैपेरॉन आरेख में दोनों पथों के बीच के क्षेत्रफल से ज्यामितीय रूप से $W_{1} - W_{2}$ पुनः प्राप्त कीजिए।
दोनों पथों पर $Δ U$ निकालिए, फिर उनसे $Q_{1}$ और $Q_{2}$ ज्ञात कीजिए। $δ Q$ की प्रकृति पर निष्कर्ष दीजिए।
संख्यात्मक अनुप्रयोग: $n = 1$ mol, $T_{1} = 300$ K, $T_{2} = 600$ K और $V_{2} = 2 V_{1}$ ।

संकेत

क्लैपेरॉन आरेख में समआयतनी वक्र ऊर्ध्वाधर होता है और आदर्श गैस का समतापी वक्र

P = n R T / V

का पालन करता है। तापमान

T_{2}

का समतापी वक्र तापमान

T_{1}

के समतापी वक्र के ऊपर होता है। समआयतनी रूपांतरण दाब बलों के कार्य में योगदान नहीं करता। प्रश्न 3 के लिए, प्राप्त कार्य आरेख

(P, V)

में पथ के नीचे स्थित बीजीय क्षेत्रफल का ऋणात्मक है।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1।

C

को पथ

Γ_{1}

की मध्यवर्ती अवस्था और

D

को पथ

Γ_{2}

की मध्यवर्ती अवस्था मानें। उनके दाब और आयतन हैं

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

चूँकि $T_{2} > T_{1}$ , समतापी वक्र $T_{2}$ , समतापी वक्र $T_{1}$ के ऊपर है। पथ $Γ_{1}$ , $A$ से $C$ तक निचले समतापी वक्र $T_{1}$ के अनुदिश दाईं ओर जाता है, फिर $C$ से $B$ तक समआयतनी रेखा $V_{2}$ के अनुदिश ऊर्ध्वाधर जाता है। पथ $Γ_{2}$ पहले $A$ से $D$ तक समआयतनी रेखा $V_{1}$ के अनुदिश ऊर्ध्वाधर जाता है, फिर $D$ से $B$ तक ऊपरी समतापी वक्र $T_{2}$ के अनुदिश दाईं ओर जाता है। अतः दोनों पथों के तीर हैं

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

क्लैपेरॉन आरेख में पथ _1 और _2। धूसर वक्र समतापी वक्रों T_1 और T_2 के विस्तार हैं। — चित्र 1. क्लैपेरॉन आरेख में पथ $Γ_{1}$ और $Γ_{2}$ । धूसर वक्र समतापी वक्रों $T_{1}$ और $T_{2}$ के विस्तार हैं।

प्रश्न 2। गैस द्वारा प्राप्त कार्य की परंपरा के अनुसार, $δ W = - P d V$ । समआयतनी रूपांतरण कोई योगदान नहीं करता और तापमान $T$ वाले समतापी रूपांतरण पर,

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

अतः

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

और फिर

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ समान हैं, फिर भी कार्य अलग हैं: $δ W$ यथार्थ अवकल नहीं है।

प्रश्न 3। समआयतनी रेखाएँ कोई क्षेत्रफल नहीं घेरतीं। चूँकि प्राप्त कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का ऋणात्मक है, अंतर

W_{1} - W_{2}

, समतापी वक्रों

T_{2}

और

T_{1}

के बीच का क्षेत्रफल है:

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

इस प्रकार प्रश्न 2 का परिणाम पुनः मिलता है।

प्रश्न 4। एकपरमाणुक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है। अतः उसकी भिन्नता दोनों पथों पर समान है:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

प्रथम नियम, $Δ U = W + Q$ , से $Q = Δ U - W$ मिलता है, इसलिए

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

अतः,

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

विनिमय की गई ऊष्मा भी पथ पर निर्भर करती है: $δ Q$ , $d U$ के विपरीत, यथार्थ अवकल नहीं है।

प्रश्न 5।

ln 2 ≃ 0, 693

के साथ,

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

गैस $Γ_{2}$ के दौरान दुगुना कार्य प्रदान करती है और उसके अनुरूप अतिरिक्त ऊष्मा प्राप्त करती है।