हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

दो अवस्थाओं के बीच दो पथों से कार्य और ऊष्मा

अभ्यास 11 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

  • दाब बलों का कार्य
  • ऊष्मा
  • समतापी
  • समआयतनी
  • क्लैपेरॉन आरेख
  • यथार्थ अवकल
  • आदर्श गैस

प्रश्न

हम एकपरमाणुक आदर्श गैस के nn मोल पर विचार करते हैं, जिसकी आंतरिक ऊर्जा U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT है। अवस्था A(T1,V1)A(T_1,V_1) को अवस्था B(T2,V2)B(T_2,V_2) से दो अर्ध-स्थैतिक पथों द्वारा जोड़ा जाता है, जहाँ हर क्षण Pext=PP_{\mathrm{ext}}=P है:

  • Γ1\Gamma_1: T1T_1 पर V1V_1 से V2V_2 तक समतापी प्रसार, फिर V2V_2 पर T1T_1 से T2T_2 तक समआयतनी रूपांतरण;
  • Γ2\Gamma_2: V1V_1 पर T1T_1 से T2T_2 तक समआयतनी रूपांतरण, फिर T2T_2 पर V1V_1 से V2V_2 तक समतापी प्रसार।

  1. T2>T1T_2>T_1 और V2>V1V_2>V_1 की स्थिति में, पथों Γ1\Gamma_1 और Γ2\Gamma_2 को क्लैपेरॉन आरेख (P,V)(P,V) में दर्शाइए। मध्यवर्ती अवस्थाएँ और गति की दिशा बताइए।
  2. दोनों पथों में से प्रत्येक पर प्राप्त कार्य W1W_1 और W2W_2 निकालिए। उनका अंतर W1−W2W_1-W_2 कितना है?
  3. दोनों समाकल अलग-अलग फिर से किए बिना, क्लैपेरॉन आरेख में दोनों पथों के बीच के क्षेत्रफल से ज्यामितीय रूप से W1−W2W_1-W_2 पुनः प्राप्त कीजिए।
  4. दोनों पथों पर ΔU\Delta U निकालिए, फिर उनसे Q1Q_1 और Q2Q_2 ज्ञात कीजिए। δQ\delta Q की प्रकृति पर निष्कर्ष दीजिए।
  5. संख्यात्मक अनुप्रयोग: n=1n=1 mol, T1=300T_1=300 K, T2=600T_2=600 K और V2=2V1V_2=2V_1।

संकेत
क्लैपेरॉन आरेख में समआयतनी वक्र ऊर्ध्वाधर होता है और आदर्श गैस का समतापी वक्र P=nRT/VP=nRT/V का पालन करता है। तापमान T2T_2 का समतापी वक्र तापमान T1T_1 के समतापी वक्र के ऊपर होता है। समआयतनी रूपांतरण दाब बलों के कार्य में योगदान नहीं करता। प्रश्न 3 के लिए, प्राप्त कार्य आरेख (P,V)(P,V) में पथ के नीचे स्थित बीजीय क्षेत्रफल का ऋणात्मक है।

विस्तृत हल

हल
प्रश्न 1। CC को पथ Γ1\Gamma_1 की मध्यवर्ती अवस्था और DD को पथ Γ2\Gamma_2 की मध्यवर्ती अवस्था मानें। उनके दाब और आयतन हैं

A=(nRT1V1,V1),C=(nRT1V2,V2),D=(nRT2V1,V1),B=(nRT2V2,V2).\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

चूँकि T2>T1T_2>T_1, समतापी वक्र T2T_2, समतापी वक्र T1T_1 के ऊपर है। पथ Γ1\Gamma_1, AA से CC तक निचले समतापी वक्र T1T_1 के अनुदिश दाईं ओर जाता है, फिर CC से BB तक समआयतनी रेखा V2V_2 के अनुदिश ऊर्ध्वाधर जाता है। पथ Γ2\Gamma_2 पहले AA से DD तक समआयतनी रेखा V1V_1 के अनुदिश ऊर्ध्वाधर जाता है, फिर DD से BB तक ऊपरी समतापी वक्र T2T_2 के अनुदिश दाईं ओर जाता है। अतः दोनों पथों के तीर हैं

Γ1:A→ T=T1 C→ V=V2 B,Γ2:A→ V=V1 D→ T=T2 B.\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.
क्लैपेरॉन आरेख में पथ _1 और _2। धूसर वक्र समतापी वक्रों T_1 और T_2 के विस्तार हैं।
चित्र 1. क्लैपेरॉन आरेख में पथ Γ1\Gamma_1 और Γ2\Gamma_2। धूसर वक्र समतापी वक्रों T1T_1 और T2T_2 के विस्तार हैं।

प्रश्न 2। गैस द्वारा प्राप्त कार्य की परंपरा के अनुसार, δW=−P dV\delta W=-P\,\mathrm{d}V। समआयतनी रूपांतरण कोई योगदान नहीं करता और तापमान TT वाले समतापी रूपांतरण पर,

W=−∫V1V2nRTV dV=−nRTln⁡V2V1.W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

अतः

W1=−nRT1ln⁡V2V1,W2=−nRT2ln⁡V2V1,W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

और फिर

W1−W2=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ समान हैं, फिर भी कार्य अलग हैं: δW\delta W यथार्थ अवकल नहीं है।

प्रश्न 3। समआयतनी रेखाएँ कोई क्षेत्रफल नहीं घेरतीं। चूँकि प्राप्त कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का ऋणात्मक है, अंतर W1−W2W_1-W_2, समतापी वक्रों T2T_2 और T1T_1 के बीच का क्षेत्रफल है:

W1−W2=∫V1V2(nRT2V−nRT1V)dV=nR(T2−T1)ln⁡V2V1>0.W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

इस प्रकार प्रश्न 2 का परिणाम पुनः मिलता है।

प्रश्न 4। एकपरमाणुक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है। अतः उसकी भिन्नता दोनों पथों पर समान है:

ΔU=UB−UA=32nR(T2−T1).\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

प्रथम नियम, ΔU=W+Q\Delta U=W+Q, से Q=ΔU−WQ=\Delta U-W मिलता है, इसलिए

Q1=32nR(T2−T1)+nRT1ln⁡V2V1,Q2=32nR(T2−T1)+nRT2ln⁡V2V1.\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

अतः,

Q2−Q1=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

विनिमय की गई ऊष्मा भी पथ पर निर्भर करती है: δQ\delta Q, dU\mathrm{d}U के विपरीत, यथार्थ अवकल नहीं है।

प्रश्न 5। ln⁡2≃0,693\ln 2\simeq0{,}693 के साथ,

W1≃−1,73 kJ,W2≃−3,46 kJ,ΔU≃3,74 kJ,Q1≃5,47 kJ,Q2≃7,20 kJ.\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

गैस Γ2\Gamma_2 के दौरान दुगुना कार्य प्रदान करती है और उसके अनुरूप अतिरिक्त ऊष्मा प्राप्त करती है।