हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

त्रिभुजीय चक्र

अभ्यास 12 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

  • ऊष्मा इंजन चक्र
  • क्लैपेरॉन आरेख
  • चक्र का क्षेत्रफल
  • प्रथम नियम
  • दक्षता

प्रश्न

हम आदर्श गैस के nn मोल पर विचार करते हैं, जिसकी मोलर ऊष्मा क्षमता cVc_V अचर है और जो अर्ध-स्थैतिक चक्र A→B→C→AA\to B\to C\to A का अनुसरण करती है, जहाँ

A=(P0,V0),B=(2P0,V0),C=(P0,2V0).A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

शाखा A→BA\to B समआयतनी है, शाखा B→CB\to C तल (P,V)(P,V) में एक सरल रेखाखंड है और शाखा C→AC\to A समदाबी है।

ऊष्मा इंजन चक्र के लिए दक्षता की परिभाषा है

η=WfourniQin=−WcycleQin,\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

जहाँ QinQ_{\mathrm{in}}, चक्र के दौरान गैस द्वारा प्राप्त धनात्मक प्रारंभिक ऊष्मा-अंतरणों δQ>0\delta Q>0 का योग है।

  1. चक्र को क्लैपेरॉन आरेख में दर्शाइए और उसके परिक्रमण की दिशा बताइए। यह ऊष्मा इंजन चक्र है या ग्राही चक्र?
  2. सरल रेखा का समीकरण P(V)P(V) ज्ञात कीजिए, जो BB को CC से जोड़ती है।
  3. T0=P0V0/(nR)T_0=P_0V_0/(nR) रखते हुए, तापमान TAT_A, TBT_B और TCT_C निर्धारित कीजिए। शाखा समतापी न होने पर भी ΔUB→C\Delta U_{B\to C} शून्य क्यों है?
  4. तीनों शाखाओं में से प्रत्येक पर प्राप्त कार्य और फिर पूरे चक्र पर प्राप्त कार्य निकालिए। कुल कार्य का निरपेक्ष मान त्रिभुज के क्षेत्रफल से पुनः प्राप्त कीजिए।
  5. प्रत्येक शाखा पर ΔU\Delta U और QQ केवल P0P_0, V0V_0 और cVc_V के फलन के रूप में निकालिए, फिर जाँचिए कि ΔUcycle=0\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0 और Qcycle=−WcycleQ_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}।
  6. a=cVR>1a = \frac{c_V}{R} >1 और x=V/V0x = V/V_0 रखते हुए दिखाइए कि δQ\delta Q का चिह्न शाखा B→CB\to C के एक बिंदु पर बदलता है। इससे QinQ_{\mathrm{in}}, और फिर इस चक्र की दक्षता η\eta निकालिए। एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए इसका मान दीजिए, जिसके लिए cV=32Rc_V=\frac32R है।

संकेत
B→CB\to C पर, P(V)=aV+bP(V)=aV+b ज्ञात कीजिए और उसके BB तथा CC से गुजरने की शर्त लगाइए। आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन निकालने के लिए केवल शाखा के सिरों के तापमान आवश्यक हैं। प्रश्न 6 के लिए प्रथम नियम का अवकल रूप प्रयोग कीजिए।

विस्तृत हल

हल
प्रश्न 1—2। चक्र दक्षिणावर्त दिशा में चलता है: यह ऊष्मा इंजन चक्र है। सरल रेखा B→CB\to C का समीकरण है

P(V)=P0(3−VV0).P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).
क्लैपेरॉन आरेख में त्रिभुजीय चक्र A B C A।
चित्र 1. क्लैपेरॉन आरेख में त्रिभुजीय चक्र A→B→C→AA\to B\to C\to A।

प्रश्न 3। अवस्था समीकरण देता है

TA=T0,TB=TC=2T0.T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

B→CB\to C के अनुदिश तापमान बदलता है, पर दोनों सिरों पर पुनः समान मान प्राप्त करता है। चूँकि पदार्थ की मात्रा नियत होने पर आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है, इसलिए ΔUB→C=0\Delta U_{B\to C}=0।

प्रश्न 4। प्राप्त कार्य हैं

WAB=0,WBC=−∫V02V0P(V) dV=−32P0V0,WCA=−P0ΔV=P0V0.W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

अतः,

Wcycle=−12P0V0.\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

इसका चिह्न ऋणात्मक है: चक्र के दौरान गैस कार्य प्रदान करती है। इसका निरपेक्ष मान वास्तव में उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसकी आधार V0V_0 और ऊँचाई P0P_0 है; समकोण त्रिभुज के लिए सूत्र A=12आधार×ऊँचाईA=\frac12\text{आधार}\times\text{ऊँचाई} है।

प्रश्न 5। चूँकि nRT0=P0V0nRT_0=P_0V_0,

शाखाWΔUQ=ΔU−WA→B0cVRP0V0cVRP0V0B→C−32P0V0032P0V0C→AP0V0−cVRP0V0−(cVR+1)P0V0\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{शाखा} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

तीनों शाखाओं को जोड़ने पर मिलता है

ΔUcycle=0,Qcycle=12P0V0=−Wcycle.\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

प्रश्न 6। a=cV/Ra=c_V/R और x=V/V0x=V/V_0 रखें। शाखा B→CB\to C पर, P=P0(3−x)P=P_0(3-x) और T=T0(3x−x2)T=T_0(3x-x^2)। प्रथम नियम देता है

δQ=dU−δW=P0V0[3(a+1)−(2a+1)x]dx.\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

यह प्रारंभिक ऊष्मा उस बिंदु पर शून्य होती है जहाँ

x⋆=3(a+1)2a+1.x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

जब a>1a>1, तब 1<x⋆<21<x_\star<2: गैस BB से भुज x⋆x_\star वाले बिंदु तक ऊष्मा प्राप्त करती है, फिर वहाँ से CC तक ऊष्मा छोड़ती है। वह ऊष्मा QAB=aP0V0Q_{AB}=aP_0V_0 को A→BA\to B पर भी प्राप्त करती है। फलतः,

Qin=P0V0[a+∫1x⋆(3(a+1)−(2a+1)x)dx]=P0V0[a+(a+2)22(2a+1)].\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

अतः दक्षता है

η=12P0V0Qin=2a+15a2+6a+4,a=cVR.\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए a=32a=\frac32, इसलिए

η=1697≃16,5 %.\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.