हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

पाठ्य-अभ्यास: लाप्लास के नियम

अभ्यास 18 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

पाठ्य-अभ्यास
लाप्लास का नियम
रुद्धोष्म सूचकांक
गामा
रुद्धोष्म प्रसार
अवकल रूप में प्रथम नियम

प्रश्न

हम आदर्श गैस के $n$ मोल पर विचार करते हैं, जिसका रुद्धोष्म सूचकांक $γ = c_{P} / c_{V}$ अचर माना गया है। निकाय बंद माना गया है। हम मायर संबंध $c_{P} - c_{V} = R$ स्वीकार करते हैं ( $c_{P}$ की खोज वाला अभ्यास देखें)।

दिखाइए कि $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
गैस एक अर्ध-स्थैतिक रुद्धोष्म रूपांतरण से गुजरती है, जिसके लिए हम $P_{ext} = P$ मानते हैं। अवकल रूप में प्रथम नियम से प्रारंभ करके दिखाइए कि $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ और फिर निष्कर्ष निकालिए कि रूपांतरण के दौरान $T V^{γ - 1} = नियत$ है।
इससे लाप्लास के नियम के दो अन्य रूप निकालिए: $P V^{γ} = नियत$ और $T^{γ} P^{1 - γ} = नियत$ ।
ऐसा प्रसार एक एकपरमाणुक गैस ( $γ = 5/3$ ) का आयतन दुगुना करता है, जहाँ $n = 1$ mol और प्रारंभिक तापमान $T_{i} = 300$ K है। $T_{f}$ , फिर $Δ T$ और $W$ निकालिए तथा $Δ T$ और $W$ के चिह्नों पर टिप्पणी कीजिए।
क्लैपेरॉन आरेख $(P, V)$ में एक ही बिंदु पर ऐसे रुद्धोष्म वक्र की ढाल की तुलना समतापी वक्र की ढाल से कीजिए।

संकेत

प्रश्न 2 के लिए:

d U = n c_{V} d T

और

δ W = - P d V

, जहाँ

P = n R T / V

है; फिर चरों को अलग कीजिए। प्रश्न 5 के लिए,

P V^{γ} = नियत

और

P V = नियत

का अवकलन कीजिए।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1।

c_{P} = γ c_{V}

और

c_{P} - c_{V} = R

से

c_{V} (γ - 1) = R

मिलता है, जिससे दोनों सूत्र प्राप्त होते हैं। प्रश्न 2। रुद्धोष्म:

δ Q = 0

, अतः

d U = δ W

, अर्थात

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

।

c_{V} = R / (γ - 1)

के साथ:

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

समाकलन करने पर: $ln T + (γ - 1) ln V = नियत$ , अर्थात $T V^{γ - 1} = नियत$ ।

प्रश्न 3।

T = P V / (n R)

रखने पर

P V^{γ} = नियत

मिलता है, क्योंकि

n

अचर है।

V = n R T / P

रखने पर

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = नियत

मिलता है, और इसलिए

T^{γ} P^{1 - γ} = नियत

। प्रश्न 4। सबसे सरल उपाय लाप्लास के नियम

T V^{γ - 1} = नियत

का उपयोग करना है, जो देता है:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, अर्थात

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K। ध्यान रहे कि त्रुटि से बचने के लिए इस गणना में तापमान को केल्विन में ही रखना आवश्यक है! इससे

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K मिलता है। कार्य के लिए, चूँकि

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : प्रसार के दौरान गैस बाहरी परिवेश को कार्य प्रदान करती है। किसी ऊष्मा स्रोत से ऊर्जा न ले पाने के कारण ( $Q = 0$ ), वह अपनी आंतरिक ऊर्जा का उपयोग करती है; इसलिए शीतलन होता है और $Δ T < 0$ ।

प्रश्न 5।

P V = नियत

का अवकलन करने पर:

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

।

P V^{γ} = नियत

का अवकलन करने पर:

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

। रुद्धोष्म वक्र की ढाल समतापी वक्र की अपेक्षा

γ

गुनी अधिक तीव्र है: ऊष्मा निकाले बिना संपीडित करने पर दाब अधिक तेज़ी से बढ़ता है, क्योंकि तापमान भी बढ़ता है।