हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

पाठ्य-अभ्यास: लाप्लास के नियम

अभ्यास 10 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

  • पाठ्य-अभ्यास
  • लाप्लास का नियम
  • रुद्धोष्म सूचकांक
  • गामा
  • रुद्धोष्म प्रसार
  • अवकल रूप में प्रथम नियम

प्रश्न

हम आदर्श गैस के nn मोल पर विचार करते हैं, जिसका रुद्धोष्म सूचकांक γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V अचर माना गया है। निकाय बंद माना गया है। हम मायर संबंध cP−cV=Rc_P - c_V = R स्वीकार करते हैं (cPc_P की खोज वाला अभ्यास देखें)।

  1. दिखाइए कि cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. गैस एक अर्ध-स्थैतिक रुद्धोष्म रूपांतरण से गुजरती है, जिसके लिए हम Pext=PP_{\text{ext}} = P मानते हैं। अवकल रूप में प्रथम नियम से प्रारंभ करके दिखाइए कि dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, और फिर निष्कर्ष निकालिए कि रूपांतरण के दौरान TVγ−1=नियतTV^{\gamma-1} = \text{नियत} है।
  3. इससे लाप्लास के नियम के दो अन्य रूप निकालिए: PVγ=नियतPV^\gamma = \text{नियत} और TγP1−γ=नियतT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{नियत}।
  4. ऐसा प्रसार एक एकपरमाणुक गैस (γ=5/3\gamma = 5/3) का आयतन दुगुना करता है, जहाँ n=1n = 1 mol और प्रारंभिक तापमान Ti=300T_i = 300 K है। TfT_f, फिर ΔT\Delta T और WW निकालिए तथा ΔT\Delta T और WW के चिह्नों पर टिप्पणी कीजिए।
  5. क्लैपेरॉन आरेख (P,V)(P,V) में एक ही बिंदु पर ऐसे रुद्धोष्म वक्र की ढाल की तुलना समतापी वक्र की ढाल से कीजिए।

संकेत
प्रश्न 2 के लिए: dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T और δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V, जहाँ P=nRT/VP = nRT/V है; फिर चरों को अलग कीजिए। प्रश्न 5 के लिए, PVγ=नियतPV^\gamma = \text{नियत} और PV=नियतPV = \text{नियत} का अवकलन कीजिए।

विस्तृत हल

हल
प्रश्न 1। cP=γcVc_P = \gamma c_V और cP−cV=Rc_P - c_V = R से cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R मिलता है, जिससे दोनों सूत्र प्राप्त होते हैं।

प्रश्न 2। रुद्धोष्म: δQ=0\delta Q = 0, अतः dU=δW\mathrm{d}U = \delta W, अर्थात ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V। cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1) के साथ:

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

समाकलन करने पर: ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=नियत\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{नियत}, अर्थात TVγ−1=नियतTV^{\gamma-1} = \text{नियत}।

प्रश्न 3। T=PV/(nR)T = PV/(nR) रखने पर PVγ=नियतPV^\gamma = \text{नियत} मिलता है, क्योंकि nn अचर है। V=nRT/PV = nRT/P रखने पर T(TP)γ−1=नियतT \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{नियत} मिलता है, और इसलिए TγP1−γ=नियतT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{नियत}।

प्रश्न 4। सबसे सरल उपाय लाप्लास के नियम TVγ−1=नियतT V^{\gamma - 1} = \text{नियत} का उपयोग करना है, जो देता है: TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}, अर्थात Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K। ध्यान रहे कि त्रुटि से बचने के लिए इस गणना में तापमान को केल्विन में ही रखना आवश्यक है! इससे ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K मिलता है। कार्य के लिए, चूँकि Q=0Q = 0:

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0: प्रसार के दौरान गैस बाहरी परिवेश को कार्य प्रदान करती है। किसी ऊष्मा स्रोत से ऊर्जा न ले पाने के कारण (Q=0Q=0), वह अपनी आंतरिक ऊर्जा का उपयोग करती है; इसलिए शीतलन होता है और ΔT<0\Delta T < 0।

प्रश्न 5। PV=नियतPV = \text{नियत} का अवकलन करने पर: (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}। PVγ=नियतPV^\gamma = \text{नियत} का अवकलन करने पर: (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}। रुद्धोष्म वक्र की ढाल समतापी वक्र की अपेक्षा γ\gamma गुनी अधिक तीव्र है: ऊष्मा निकाले बिना संपीडित करने पर दाब अधिक तेज़ी से बढ़ता है, क्योंकि तापमान भी बढ़ता है।