हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

बहुदैशिक रूपांतरण $P V^{k} = नियत$ का कार्य

अभ्यास 22 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

बहुदैशिक रूपांतरण
दाब बलों का कार्य
लाप्लास का नियम

प्रश्न

हम आदर्श गैस के एक ऐसे अर्ध-स्थैतिक रूपांतरण पर विचार करते हैं जिसके लिए $P V^{k} = नियत$ , जहाँ $k \in R$ और $k \neq = 1$ है।

$W_{A \to B}$ को $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ और $k$ के फलन के रूप में निकालिए।
समदाबी रूपांतरण ( $k = 0$ ) के लिए परिणाम पुनः प्राप्त कीजिए।
समआयतनी रूपांतरण के लिए इसका मान क्या है (पिछले सूत्र का उपयोग किए बिना)?
$k = 1$ के लिए क्या होता है? $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ पुनः प्राप्त कीजिए।

संकेत

P (V) = C V^{- k}

रखिए, जहाँ

C = P_{A} V_{A}^{k}

है; समाकलन कीजिए, फिर

C V^{1 - k} = P V

का उपयोग कीजिए।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। बहुदैशिक संबंध को इस प्रकार लिखा जाता है

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

बैंकर चिह्न परंपरा के अनुसार गैस द्वारा प्राप्त कार्य है

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

$k \neq = 1$ के लिए $V^{- k}$ का एक प्रतिअवकलज $V^{1 - k} / (1 - k)$ है। अतः,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

अब

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

अंततः,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

प्रश्न 2। $k = 0$ के लिए संबंध $P V^{0} = C$ , $P = C$ बन जाता है: रूपांतरण समदाबी है। चूँकि $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

इस प्रकार समदाबी कार्य का प्रत्यक्ष व्यंजक पुनः मिलता है।

प्रश्न 3। समआयतनी रूपांतरण के लिए,

V_{B} = V_{A}

और प्रत्येक क्षण

d V = 0

। फलतः,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

कोई अनौपचारिक समआयतनी रूपांतरण $k$ के किसी परिमित मान से मेल नहीं खाता: यदि $V$ अचर है, तो संबंध $P V^{k} = नियत$ , $P$ को भी अचर होने के लिए बाध्य करेगा। समआयतनी रूपांतरण को केवल औपचारिक सीमा $k \to \infty$ के रूप में देखा जा सकता है।

प्रश्न 4।

k = 1

के लिए समाकल्य

1/ V

के समानुपाती है: प्रतिअवकलज अब घात नहीं, बल्कि लघुगणक है। अतः समाकलन अलग से करना होगा। बहुदैशिक संबंध बन जाता है

P V = C .

बंद आदर्श गैस के लिए $P V = n R T$ ; इसलिए तापमान अचर है और $C = n R T$ । तब प्राप्त कार्य है

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

संपीडन के लिए $V_{B} / V_{A} < 1$ , अतः लघुगणक ऋणात्मक है और $W_{A \to B} > 0$ , जैसा अपेक्षित है।