बहुदैशिक रूपांतरण $PV^k=\text{नियत}$ का कार्य

प्रश्न 1। बहुदैशिक संबंध को इस प्रकार लिखा जाता है

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

बैंकर चिह्न परंपरा के अनुसार गैस द्वारा प्राप्त कार्य है

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

$k\neq1$ के लिए $V^{-k}$ का एक प्रतिअवकलज $V^{1-k}/(1-k)$ है। अतः,

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

अब

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

अंततः,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

प्रश्न 2। $k=0$ के लिए संबंध $PV^0=C$, $P=C$ बन जाता है: रूपांतरण समदाबी है। चूँकि $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

इस प्रकार समदाबी कार्य का प्रत्यक्ष व्यंजक पुनः मिलता है।

प्रश्न 3। समआयतनी रूपांतरण के लिए, $V_B=V_A$ और प्रत्येक क्षण $\mathrm{d}V=0$। फलतः,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

कोई अनौपचारिक समआयतनी रूपांतरण $k$ के किसी परिमित मान से मेल नहीं खाता: यदि $V$ अचर है, तो संबंध $PV^k=\text{नियत}$, $P$ को भी अचर होने के लिए बाध्य करेगा। समआयतनी रूपांतरण को केवल औपचारिक सीमा $k\to\infty$ के रूप में देखा जा सकता है।

प्रश्न 4। $k=1$ के लिए समाकल्य $1/V$ के समानुपाती है: प्रतिअवकलज अब घात नहीं, बल्कि लघुगणक है। अतः समाकलन अलग से करना होगा। बहुदैशिक संबंध बन जाता है

$$PV=C.$$

बंद आदर्श गैस के लिए $PV=nRT$; इसलिए तापमान अचर है और $C=nRT$। तब प्राप्त कार्य है

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

संपीडन के लिए $V_B/V_A<1$, अतः लघुगणक ऋणात्मक है और $W_{A\to B}>0$, जैसा अपेक्षित है।