हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

अचर दाब पर तापन: cPc_P की खोज

अभ्यास 13 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

  • ऊष्मा क्षमता
  • अचर दाब
  • मायर संबंध
  • समदाबी तापन
  • आदर्श गैस

प्रश्न

मोलर ऊष्मा क्षमता cVc_V वाली आदर्श गैस का एक मोल प्रारंभिक आयतन V0V_0 के बेलन में बंद है। बेलन घर्षणरहित, गतिशील और रुद्धोष्म पिस्टन से बंद है, जिस पर अचर बाह्य दाब P0P_0 लगता है। गैस के भीतर का विद्युत प्रतिरोधक उसे अर्ध-स्थैतिक ढंग से ऊष्मा Q>0Q>0 देता है।

  1. उपकरण का सरल आरेख बनाइए। गैस, पिस्टन, प्रतिरोधक, बाह्य दाब P0P_0 और ऊर्जा-अंतरणों को दर्शाइए।
  2. संख्यात्मक मानों का उपयोग किए बिना प्रारंभिक तापमान T0T_0 व्यक्त कीजिए, फिर अंतिम अवस्था (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), गैस द्वारा प्राप्त कार्य WW और उसकी आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ΔU\Delta U निर्धारित कीजिए।
  3. इससे अचर दाब पर मोलर ऊष्मा क्षमता cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P को cVc_V और RR के फलन के रूप में निकालिए।
  4. एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए संख्यात्मक अनुप्रयोग: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} और R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}।

संकेत
रूपांतरण समदाबी है: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V। आदर्श गैस के एक मोल के लिए, P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T। इन संबंधों को प्रथम नियम में रखिए।

विस्तृत हल

हल
प्रश्न 1। आरेख में एक गतिशील पिस्टन से बंद बेलन के भीतर गैस दिखाई जानी चाहिए। बेलन के भीतर एक तीर प्रतिरोधक द्वारा दी गई ऊष्मा QQ को दर्शाता है। बाह्य दाब P0P_0 पिस्टन पर लगता है, और गैस के प्रसारित होने पर पिस्टन ऊपर की ओर चलता है।

प्रश्न 2। प्रारंभिक अवस्था समीकरण देता है

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

दाब अचर रहता है, अतः Pf=P0P_f=P_0। इसके अतिरिक्त, W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T। तब प्रथम नियम देता है

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

जिससे

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

अतः अंतिम अवस्था है

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

अंततः,

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

प्रश्न 3। चूँकि अचर दाब पर Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T,

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

यही मायर संबंध है।

प्रश्न 4। एकपरमाणुक गैस के लिए,

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

हमें मिलता है

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

अंततः,

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.