हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

अचर दाब पर तापन: $c_{P}$ की खोज

अभ्यास 21 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

ऊष्मा क्षमता
अचर दाब
मायर संबंध
समदाबी तापन
आदर्श गैस

प्रश्न

मोलर ऊष्मा क्षमता $c_{V}$ वाली आदर्श गैस का एक मोल प्रारंभिक आयतन $V_{0}$ के बेलन में बंद है। बेलन घर्षणरहित, गतिशील और रुद्धोष्म पिस्टन से बंद है, जिस पर अचर बाह्य दाब $P_{0}$ लगता है। गैस के भीतर का विद्युत प्रतिरोधक उसे अर्ध-स्थैतिक ढंग से ऊष्मा $Q > 0$ देता है।

उपकरण का सरल आरेख बनाइए। गैस, पिस्टन, प्रतिरोधक, बाह्य दाब $P_{0}$ और ऊर्जा-अंतरणों को दर्शाइए।
संख्यात्मक मानों का उपयोग किए बिना प्रारंभिक तापमान $T_{0}$ व्यक्त कीजिए, फिर अंतिम अवस्था $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , गैस द्वारा प्राप्त कार्य $W$ और उसकी आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $Δ U$ निर्धारित कीजिए।
इससे अचर दाब पर मोलर ऊष्मा क्षमता $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ को $c_{V}$ और $R$ के फलन के रूप में निकालिए।
एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए संख्यात्मक अनुप्रयोग: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ और $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ ।

संकेत

रूपांतरण समदाबी है:

W = - P_{0} Δ V

। आदर्श गैस के एक मोल के लिए,

P_{0} Δ V = R Δ T

। इन संबंधों को प्रथम नियम में रखिए।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। आरेख में एक गतिशील पिस्टन से बंद बेलन के भीतर गैस दिखाई जानी चाहिए। बेलन के भीतर एक तीर प्रतिरोधक द्वारा दी गई ऊष्मा

Q

को दर्शाता है। बाह्य दाब

P_{0}

पिस्टन पर लगता है, और गैस के प्रसारित होने पर पिस्टन ऊपर की ओर चलता है। प्रश्न 2। प्रारंभिक अवस्था समीकरण देता है

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

दाब अचर रहता है, अतः $P_{f} = P_{0}$ । इसके अतिरिक्त, $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ । तब प्रथम नियम देता है

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

जिससे

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

अतः अंतिम अवस्था है

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

अंततः,

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

प्रश्न 3। चूँकि अचर दाब पर $Q = (c_{V} + R) Δ T$ ,

c_{P} = c_{V} + R .

यही मायर संबंध है।

प्रश्न 4। एकपरमाणुक गैस के लिए,

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

हमें मिलता है

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

अंततः,

W = - 400 J, Δ U = 600 J .