आयताकार शीतलन चक्र

प्रश्न 1। बिंदु $A$, $B$, $C$ और $D$ क्रमशः नीचे बाएँ, नीचे दाएँ, ऊपर दाएँ और ऊपर बाएँ स्थित हैं। शाखाएँ $A\to B$ और $C\to D$ समदाबी हैं; $B\to C$ और $D\to A$ समआयतनी हैं। पथ $A\to B\to C\to D\to A$ वामावर्त है।

प्रश्न 2। गैस द्वारा प्राप्त कार्य है

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.$$

यह समआयतनी शाखाओं $B\to C$ और $D\to A$ पर शून्य है। दोनों समदाबी शाखाओं पर,

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

अतः,

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.$$

यह मान क्लैपेरॉन आरेख में आयत के क्षेत्रफल के बराबर ही है।

प्रश्न 3। एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,

$$\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.$$

समदाबी रूपांतरण पर अवस्था समीकरण $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ देता है। फलतः,

$$\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.$$

समआयतनी रूपांतरण पर यह $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ देता है, जिससे

$$\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.$$

अंततः, प्रथम नियम $\Delta U=Q+W$, अर्थात $Q=\Delta U-W$, निम्न सारणी देता है:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{शाखा} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}$$

प्रश्न 4। आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तनों का योग शून्य है। अतः प्रथम नियम से

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.$$

कुल मिलाकर गैस कार्य प्राप्त करती है: चक्र ग्राही है। वह $A\to B$ और $B\to C$ पर ऊष्मा प्राप्त करती है। इन दोनों शाखाओं पर वह अपने संपर्क में रखे गए शीत स्रोतों से ऊष्मा लेती है: इसलिए इन्हीं बाहरी स्रोतों (उदाहरण के लिए रेफ्रिजरेटर का कक्ष और उसमें रखे खाद्य पदार्थों) को ठंडा किया जाता है, चक्रीय गैस को नहीं।

$C\to D$ और $D\to A$ पर गैस इसके विपरीत उष्ण स्रोतों, जैसे कमरे की हवा, को ऊष्मा देती है। इन स्रोतों द्वारा प्राप्त कुल ऊष्मा को $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ लिखने पर,

$$Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.$$

इस प्रकार चक्र प्राप्त कार्य की सहायता से शीत स्रोतों से उष्ण स्रोतों की ओर ऊष्मा स्थानांतरित करता है।

प्रश्न 5। गैस द्वारा ली गई ऊष्मा है

$$Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.$$

इससे मिलता है

$$\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }$$

प्रश्न 6। COP निवेशित कार्य की तुलना में प्राप्त शीतलन लाभ को मापता है: COP का मान $k$ होने का अर्थ है कि दिया गया प्रत्येक जूल कार्य शीत स्रोतों से $k$ जूल ऊष्मा लेने देता है।

ऊष्मा इंजन की दक्षता के विपरीत, COP प्राप्त ऊर्जा का वह अंश नहीं है जिसे कार्य में बदला जाता है। गैस कार्य $W_{\mathrm{in}}$ और शीत स्रोतों से ली गई ऊष्मा $Q_f$ दोनों प्राप्त करती है, फिर उनका योग उष्ण स्रोतों को छोड़ती है:

$$\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.$$

इसलिए $Q_f$ के $W_{\mathrm{in}}$ से छोटा होने का कोई कारण नहीं है, और ऊर्जा संरक्षण का उल्लंघन किए बिना COP पूरी तरह 1 से अधिक हो सकता है।

प्रश्न 7। यहाँ $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa और $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m$^3$:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{शाखा} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}$$

अतः $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J और $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$। ली गई ऊष्मा है

$$Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},$$

जबकि उष्ण स्रोतों को दी गई ऊष्मा है

$$Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.$$

अतः शीतलन प्रदर्शन गुणांक है

$$\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.$$