आयताकार शीतलन चक्र?

प्रश्न 1। बिंदु $A$, $B$, $C$ और $D$ क्रमशः नीचे बाएँ, नीचे दाएँ, ऊपर दाएँ और ऊपर बाएँ स्थित हैं। शाखाएँ $A\to B$ और $C\to D$ समदाबी हैं; $B\to C$ और $D\to A$ समआयतनी हैं। पथ $A\to B\to C\to D\to A$ वामावर्त है।

प्रश्न 2। गैस द्वारा प्राप्त कार्य है

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\mathrm{d}V.$$

यह समआयतनी शाखाओं $B\to C$ और $D\to A$ पर शून्य है। दोनों समदाबी शाखाओं पर,

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V,W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

अतः,

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=(-P_1+P_2)\Delta V=\Delta P\Delta V>0}$$

यह मान क्लैपेरॉन आरेख में आयत के क्षेत्रफल के बराबर ही है।

प्रश्न 3। एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,

$$\Delta U=n{c}_V\Delta T=\frac{3}{2}nR\Delta T.$$

समदाबी रूपांतरण पर अवस्था समीकरण $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branch}}$ देता है। फलतः,

$$\Delta U_{AB}=\frac{3}{2}{P}_1\Delta V,\Delta U_{CD}=-\frac{3}{2}{P}_2\Delta V.$$

समआयतनी रूपांतरण पर यह $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branch}}$ देता है, जिससे

$$\Delta U_{BC}=\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,\Delta U_{DA}=-\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

अंततः, प्रथम नियम $\Delta U=Q+W$, अर्थात $Q=\Delta U-W$, निम्न सारणी देता है:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}\text{शाखा}& W& \Delta U& Q=\Delta U-W\\ A\to B& -P_1\Delta V& \frac{3}{2}{P}_1\Delta V& \frac{5}{2}{P}_1\Delta V\\ B\to C& 0& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P\\ C\to D& P_2\Delta V& -\frac{3}{2}{P}_2\Delta V& -\frac{5}{2}{P}_2\Delta V\\ D\to A& 0& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P\end{array}\end{array}$$

प्रश्न 4। आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तनों का योग शून्य है, जैसा किसी भी अवस्था फलन के लिए एक चक्र पर होता है। अतः प्रथम नियम देता है

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\Delta V<0.$$

कुल मिलाकर गैस कार्य प्राप्त करती है: चक्र कार्य-ग्राही है। तालिका के अनुसार गैस $A\to B$ और $B\to C$ पर ऊष्मा प्राप्त करती है, तथा $C\to D$ और $D\to A$ पर ऊष्मा छोड़ती है:

$$Q_{\mathrm{in}}=Q_{AB}+Q_{BC}=\frac{5}{2}{P}_1\Delta V+\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,Q_{\mathrm{out}}=-(Q_{CD}+Q_{DA})=\frac{5}{2}{P}_2\Delta V+\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

घटाने पर, $P_2-P_1=\Delta P$ और $V_2-V_1=\Delta V$ लेकर,

$$Q_{\mathrm{out}}-Q_{\mathrm{in}}=\frac{5}{2}\Delta P\Delta V-\frac{3}{2}\Delta P\Delta V=\Delta P\Delta V=W_{\mathrm{cycle}},$$

अतः

$$\boxed{Q_{\mathrm{out}}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}}$$

एक चक्र में गैस प्राप्त की गई पूरी ऊर्जा, ऊष्मा और कार्य दोनों, ऊष्मा के रूप में छोड़ देती है।

प्रश्न 5। अवस्था समीकरण प्रत्येक शीर्ष पर $T=PV/(nR)$ देता है:

$$T_A=\frac{P_1{V}_1}{nR},T_B=\frac{P_1{V}_2}{nR},T_C=\frac{P_2{V}_2}{nR},T_D=\frac{P_2{V}_1}{nR}.$$

चूँकि $P_1<P_2$ और $V_1<V_2$, गुणनफल $PV$ बिंदु $A$ पर न्यूनतम और $C$ पर अधिकतम है: $T_A$ चक्र का सबसे कम तापमान है, $T_C$ सबसे अधिक, और $T_B$ तथा $T_D$ बीच के मान हैं।

समदाबी $A\to B$ पर नियत दाब पर $V$ बढ़ता है, अतः $T$ का मान $T_A$ से $T_B$ तक बढ़ता है। समआयतनी $B\to C$ पर नियत आयतन पर $P$ बढ़ता है, अतः $T$ का मान $T_B$ से $T_C$ तक बढ़ता है। इसी प्रकार $C\to D$ पर $T$ का मान $T_C$ से $T_D$ तक, फिर $D\to A$ पर $T_D$ से $T_A$ तक घटता है। अतः गैस तब ऊष्मा प्राप्त करती है जब उसका तापमान न्यूनतम मान $T_A$ से अधिकतम मान $T_C$ तक बढ़ता है, और तब ऊष्मा छोड़ती है जब तापमान फिर से $T_C$ से $T_A$ तक घटता है। प्रश्न 6। ऊष्मा प्राप्त करने के लिए गैस को ऐसे स्रोतों के संपर्क में होना चाहिए जो कम से कम उसके जितने गर्म हों; अर्ध-स्थैतिक सीमा में इन स्रोतों का तापमान गैस के तापमान का अनुसरण करता है। अतः गैस को ऊष्मा देने वाले स्रोतों के तापमान $T_A$ से लेकर चक्र के सबसे ऊँचे तापमान $T_C$ तक फैले होते हैं। इसके विपरीत, गैस की ऊष्मा लेने वाले स्रोतों के तापमान $T_C$ से लेकर चक्र के सबसे कम तापमान $T_A$ तक फैले होते हैं। अतः कोई अलग ठंडा पक्ष और गर्म पक्ष नहीं है: गैस बहुत गर्म स्रोतों से ऊष्मा लेती है और बहुत ठंडे स्रोतों को ऊष्मा देती है। यह चक्र रेफ़्रिजरेटर का काम नहीं कर सकता, क्योंकि रेफ़्रिजरेटर को सबसे कम तापमानों पर ऊष्मा लेनी और सबसे ऊँचे तापमानों पर छोड़नी होती है। यह चक्र कार्य प्राप्त करता है और उसे पूरा ऊष्मा के रूप में लौटा देता है ($Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$), और साथ में भिन्न तापमानों वाले स्रोतों के बीच ऊष्मा का पुनर्वितरण करता है। इसके विपरीत, रेफ़्रिजरेटर को अपने चक्र के सबसे ठंडे भागों में ऊष्मा अवशोषित करनी और सबसे गर्म भागों में छोड़नी चाहिए। पाठ 6 में अध्ययन किए जाने वाले, उलटी दिशा में चलाए गए कार्नो चक्र में ऐसा ही होता है: गैस ठंडे समतापी के साथ ऊष्मा प्राप्त करती है और गर्म समतापी के साथ ऊष्मा छोड़ती है। अतः किसी चक्र का कार्य-ग्राही होना उसके शीतलन चक्र होने के लिए पर्याप्त नहीं है। प्रश्न 7। यहाँ $\Delta P=2,0\times 10^5$ Pa और $\Delta V=1,0\times 10^{-2}$ m${}^3$:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{crrr}\text{शाखा}& W(\mathrm{J})& \Delta U(\mathrm{J})& Q(\mathrm{J})\\ A\to B& -1000& 1500& 2500\\ B\to C& 0& 4500& 4500\\ C\to D& 3000& -4500& -7500\\ D\to A& 0& -1500& -1500\end{array}\end{array}$$

इस प्रकार $W_{\mathrm{cycle}}=+2000\mathrm{J}$, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000\mathrm{J}$ और $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$। प्राप्त ऊष्मा $Q_{\mathrm{in}}=2500+4500=7000\mathrm{J}$ है और छोड़ी गई ऊष्मा $Q_{\mathrm{out}}=7500+1500=9000\mathrm{J}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}$ है। तापमानों के अनुपात $n$ पर निर्भर नहीं करते:

$$\frac{T_B}{T_A}=\frac{V_2}{V_1}=3,\frac{T_C}{T_A}=\frac{P_2{V}_2}{P_1{V}_1}=9,\frac{T_D}{T_A}=\frac{P_2}{P_1}=3.$$

यदि चक्र का सबसे कम तापमान किसी ठंडे कक्ष का तापमान होता, उदाहरण के लिए $T_A=270\mathrm{K}$, तो गैस को $T_C=9T_A\simeq 2400\mathrm{K}$ तक के तापमान वाले स्रोतों से ऊष्मा लेनी पड़ती। स्पष्ट है कि ऐसा चक्र कक्ष को ठंडा नहीं करता।