रुद्धोष्म पिस्टन: ऊष्मीय संतुलन के बिना यांत्रिक संतुलन

प्रश्न 1. चित्र में 1 का प्रतिरोधक, ऊष्मारोधित पिस्टन और बाहरी सीमा से गुजरते तार हैं। गैस 2 पिस्टन से यांत्रिक कार्य पाती है, ऊष्मा नहीं। ‘दो गैसें और प्रतिरोधक’ के लिए बाहरी ऊष्मा शून्य और बाहरी दीवारें दृढ़ हैं: केवल विद्युत कार्य प्रवेश करता है। पिस्टन के दोनों ओर के कार्य इस समष्टि के आंतरिक विनिमय हैं।

प्रश्न 2. गैस 2 का संपीडन उत्क्रमणीय रुद्धोष्म है, इसलिए $P_0V_0^\gamma=P_fV_{2,f}^\gamma$। $P_f=xP_0$ के साथ,

$$\left(\frac{V_{2,f}}{V_0}\right)^\gamma=\frac1x, \qquad V_{2,f}=x^{-1/\gamma}V_0.$$

$a=x^{-1/\gamma}$ रखें। दोनों सिरों की अवस्था समीकरण देती है

$$\frac{T_{2,f}}{T_0}=\frac{P_fV_{2,f}}{P_0V_0}=xa, \qquad T_{2,f}=xaT_0.$$

कुल आयतन $2V_0$ और पिस्टन दोनों कक्षों में समान दाब रखता है:

$$V_{1,f}=2V_0-V_{2,f}=(2-a)V_0, \qquad T_{1,f}=T_0\frac{P_fV_{1,f}}{P_0V_0}=x(2-a)T_0.$$

$x>1$ और $\gamma>1$ से $0<a<1$, इसलिए $2-a>a$ और $T_{1,f}>T_{2,f}$। दीवार कार्य देती है, प्रत्यक्ष ऊष्मा स्थानांतरण नहीं। अपनाए गए स्थूल मॉडल में धारा बंद होने के बाद यह अवस्था रुद्धोष्म बंधन के अधीन यांत्रिक संतुलन है।

प्रश्न 3. हर गैस में $\Delta U=nc_V(T_f-T_0)$ और $nc_VT_0=nRT_0/(\gamma-1)=P_0V_0/(\gamma-1)$। प्राप्त तापमान रखने पर,

$$\Delta U_1=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}[x(2-a)-1],\qquad \Delta U_2=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}(xa-1).$$

प्रतिरोधक में संचित ऊर्जा उपेक्षणीय है। समष्टि पर प्रथम नियम देता है

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{elec}}&=\Delta U_1+\Delta U_2\\ &=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}[x(2-a)-1+xa-1]\\ &=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}(2x-2) =\frac{2P_0V_0}{\gamma-1}(x-1). \end{aligned}$$

गैस 2 में $Q_2=0$, इसलिए पिस्टन का कार्य $W_2=\Delta U_2$। पिस्टन ऊर्जा नहीं रखता, इसलिए गैस 1 पर कार्य $-W_2$ है। दोनों कार्य कुल संतुलन में कट जाते हैं।

प्रश्न 4. गैस 2 के लिए एंट्रॉपी सूत्र देता है

$$\begin{aligned} \Delta S_2&=nc_V\ln(xa)+nR\ln a\\ &=nc_V[\ln x+\ln a+(\gamma-1)\ln a]\\ &=nc_V\ln(xa^\gamma)=0, \end{aligned}$$

क्योंकि $a^\gamma=1/x$। उत्क्रमणीय संपीडन की समएंट्रॉपिता फिर मिलती है। गैस 1 के लिए,

$$\begin{aligned} \Delta S_1&=nc_V\ln[x(2-a)]+nR\ln(2-a)\\ &=nc_V[\ln x+\gamma\ln(2-a)] =nc_V\ln[x(2-a)^\gamma]. \end{aligned}$$

$x>1$ और $2-a>1$ हैं, इसलिए लघुगणक का तर्क 1 से बड़ा है: $\Delta S_1>0$। समष्टि बाहर से एंट्रॉपी नहीं लेती: विद्युत कार्य उसे नहीं ढोता। अतः $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_1+\Delta S_2=\Delta S_1$। धीमे तापन में भी जूल प्रभाव एंट्रॉपी उत्पन्न करता है, इसलिए लाप्लास संबंध गैस 1 पर लागू नहीं होता।

प्रश्न 5. धारा बंद होने पर समष्टि विलगित है। चल ऊष्माचालक दीवार अंतिम तापमान और दाब बराबर होने देती है। दोनों गैसों में समान $n$ होने से $P_*V_{1,*}=nRT_*=P_*V_{2,*}$ देता है $V_{1,*}=V_{2,*}=V_0$। ऊर्जा संरक्षण लगाता है

$$nc_V(T_*-T_{1,f})+nc_V(T_*-T_{2,f})=0.$$

$nc_V$ से भाग देकर तापमान रखने पर,

$$2T_*=T_{1,f}+T_{2,f}=xT_0[(2-a)+a]=2xT_0,$$

इससे $T_*=xT_0$ और $P_*=nRxT_0/V_0=xP_0$। इस नई प्रक्रिया के एंट्रॉपी परिवर्तन हैं

$$\begin{aligned} \Delta S_{1,\mathrm{add}} &=nc_V\ln\frac{xT_0}{x(2-a)T_0}+nR\ln\frac{V_0}{(2-a)V_0} =-nc_P\ln(2-a),\\ \Delta S_{2,\mathrm{add}} &=nc_V\ln\frac{xT_0}{xaT_0}+nR\ln\frac{V_0}{aV_0} =-nc_P\ln a. \end{aligned}$$

समष्टि विलगित है, इसलिए उनका योग अतिरिक्त उत्पन्न एंट्रॉपी है:

$$S_{\mathrm{i},\mathrm{add}}=-nc_P[\ln(2-a)+\ln a]=-nc_P\ln[a(2-a)].$$

$0<a<1$ के लिए $0<a(2-a)=1-(1-a)^2<1$, इसलिए उसका लघुगणक ऋणात्मक है। ऋण चिह्न से $S_{\mathrm{i},\mathrm{add}}>0$ होता है।