दो खंडों के बीच मशीन: अधिकतम पुनःप्राप्त कार्य

प्रश्न 1. खंड अविकारी हैं और कार्य नहीं पाते। ऊर्जा परिवर्तन प्राप्त ऊष्माएँ हैं:

$$C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.$$

मशीन आरंभिक अवस्था में लौटती है। ऊर्जा संतुलन $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$, अर्थात

$$\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.$$

दक्षता पुनःप्राप्त कार्य और A से प्राप्त ऊष्मा का अनुपात है। $\delta W<0$ से $|\delta W|=-\delta W$, इसलिए

$$\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.$$

A को $-\delta Q_A<0$ और B को $-\delta Q_B>0$ मिलता है। धारिताएँ धनात्मक हैं, इसलिए $\mathrm dT_A<0$ तथा $\mathrm dT_B>0$। अतः तापांतर घटता है:

$$\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.$$

अनुपात $T_B/T_A$ बढ़ता है क्योंकि अंश बढ़ता और हर घटता है। दक्षता $1-T_B/T_A$ धीरे-धीरे गिरती है। $T_A=T_B$ पर शून्य होती है: तापांतर समाप्त है और इन खंडों के बीच कोई चक्रीय इंजन अब कार्य नहीं दे सकता।

प्रश्न 2. खंडों के संतुलन देते हैं $\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A$ और $\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B$। पिछले संबंध में रखें:

$$-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.$$

चिह्न बदलकर $T_B$ से भाग दें:

$$C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.$$

आरंभिक तापमान से किसी भी संख्या के चक्रों बाद प्राप्त तापमान तक समाकलित करें:

$$C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.$$

$1/T$ का आदिम फलन $\ln T$ है; सीमाएँ रखने पर

$$C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.$$

यह संबंध उत्क्रमणीय संचालन में कुल एंट्रॉपी संरक्षण है। रुकने पर $T_A=T_B=T_r$। $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ लिखने पर,

$$(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.$$

$C_A+C_B$ से भाग देकर चरघातांकी लेने पर,

$$\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}$$

खंडों की धारिता सीमित है: हर ऊष्मा विनिमय $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ के अनुसार तापमान बदलता है, जहाँ $\delta Q_{\mathrm{block}}$ विचाराधीन खंड को मिली ऊष्मा है। इसलिए आरंभिक दक्षता पूरे प्रयोग में मान्य नहीं रहती। नियत तापमान सन्निकटन केवल हर सूक्ष्म चक्र के लिए मान्य है, हर बार नए तापमानों के साथ।

प्रश्न 3. ‘खंड और मशीन’ समष्टि रुद्धोष्म है, पर कार्य देती है: वह विलगित नहीं है। मशीन ऊर्जा संचित नहीं करती, इसलिए प्रथम नियम देता है

$$C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.$$

समष्टि को प्राप्त कार्य मशीन को प्राप्त कार्य है। पद एकत्र करने पर,

$$W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.$$

बाहर पुनःप्राप्त कार्य उसका परिमाण है:

$$\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}$$

हर गुणनफल $CT$ की इकाई ऊर्जा की, जूल, है। उत्क्रमणीयता अधिकतम क्यों देती है, यह जानने के लिए एंट्रॉपी उत्पन्न करने वाली मशीन लें जो समान तापमान $T_*$ पर समाप्त होती है। खंडों का एंट्रॉपी संतुलन देता है

$$C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.$$

शून्य उत्क्रमणीय संतुलन घटाने पर $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$ बचता है, अतः $T_*\geq T_r$। इस इंजन संचालन में प्राप्त कार्य $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ है, जिससे

$$W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.$$

अतः $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$: उत्क्रमणीय मामले में प्राप्त कार्य सबसे अधिक ऋणात्मक है। उसका परिमाण अधिकतम है, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$।

$C_A=C_B=C$ पर घातांक $1/2$ है, इसलिए

$$T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.$$

सर्वसमिका $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ पहचानी जाती है। आरंभिक तापमान समान हों तो कार्य शून्य है।

प्रश्न 4. दी गई धारिता प्रति द्रव्यमान है। प्रत्येक खंड की कुल धारिता है

$$C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

वर्गमूल के नीचे तापमान केल्विन में होने चाहिए:

$$T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.$$

प्रश्न 3 में प्रतिस्थापन करने पर,

$$|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.$$

इसलिए अधिकतम पुनःप्राप्त कार्य लगभग $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ है। प्राप्त ऊर्जा धनात्मक रखने पर मशीन को प्राप्त कार्य $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ है: ऋण चिह्न बाहर ऊर्जा दिए जाने को दर्शाता है।