आंतरिक दीवार से पृथक दो गैसें

प्रश्न 1. चित्र में कुल आयतन $2V$ का दृढ़ पात्र एक दीवार से बँटा है। बाएँ $(n_1,T_1,V,P_0)$, दाएँ $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$ हैं। बाहरी दीवारें रुद्धोष्म हैं। स्थिर, अपारगम्य, रुद्धोष्म आंतरिक दीवार से कोई आदान-प्रदान संभव नहीं; तापमान और दाब अलग होने पर भी प्रत्येक गैस अपनी अवस्था रखती है। दीवार का बंधन दाबांतर संभालता है।

प्रश्न 2 — प्रतीकात्मक गणना। आदर्श गैस समीकरण देता है

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

प्रश्न 3 — स्थिर ऊष्माचालक दीवार। छोटे ऊर्जा स्थानांतरण में $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ और आयतन नियत हैं: प्रत्येक गैस के लिए $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$। जोड़ने पर,

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

इस परिवर्तन में तापमान विचाराधीन अवस्था के हैं। उभयनिष्ठ गुणक निकालने पर,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

संतुलन में एंट्रॉपी अधिकतम है, इसलिए $\mathrm{d}U_1$ का गुणांक शून्य होना चाहिए; इससे $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$। ऊर्जा संरक्षण देता है

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

ऊर्जा संतुलन को $(3/2)n_1R$ से भाग देने पर,

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

फिर $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ और $P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$, अतः

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

दीवार स्थिर है, इसलिए यांत्रिक संतुलन आवश्यक नहीं: अंतिम दाब अलग हो सकते हैं।

प्रश्न 4 — एंट्रॉपी संतुलन। गैस 2 को केवल ऊष्मा के रूप में ऊर्जा मिलती है

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

गैस 1 को विपरीत ऊष्मा $Q_1=-Q_{1\to2}<0$ मिलती है, जबकि $Q_2=Q_{1\to2}>0$। दीवार स्थिर है, इसलिए $W_1=W_2=0$। पूरा निकाय विलगित है, इसलिए $S_{\mathrm{e}}=0$ और $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$। आयतन नियत होने से,

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

गैस 1 एंट्रॉपी खोती है और गैस 2 पाती है। उनका योग है

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

यह उत्पादन आरंभ में भिन्न तापमान वाली गैसों के बीच स्वतः ऊष्मा स्थानांतरण दर्शाता है। बिना संख्याओं चिह्न जाँचने के लिए लघुगणक मिलाएँ:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

प्रश्न 5 — चल ऊष्माचालक दीवार। $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ और $\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$ से,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

दीवार ऊर्जा और आयतन का स्वतंत्र पुनर्वितरण देती है। इसलिए प्रत्येक $\mathrm dU_1$ और $\mathrm dV_1$ के लिए स्थिरता होनी चाहिए: दोनों गुणांक शून्य हैं। पहला $T_{1,f}=T_{2,f}$ देता है; दूसरा तब $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$, अर्थात $P_{1,f}=P_{2,f}$। ऊर्जा संरक्षण अब भी $T_f=5T_1/8$ देता है। समान दाब और तापमान पर आयतन पदार्थ मात्रा के अनुपाती हैं। उनका योग $2V$ है, इसलिए

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

अतः $V_{1,f}=V/2$ और $V_{2,f}=3V/2$। समान दाब $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$ से मिलता है, अर्थात

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन स्थिर दीवार जैसे हैं, पर अब ऊर्जा ऊष्मा और कार्य दोनों रूपों में बदलती है। एंट्रॉपी संतुलन में प्रश्न 4 जैसे तापमान पदों में आयतन पद जोड़ते हैं:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

जोड़ने पर,

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

स्थिर दीवार की तुलना में अतिरिक्त मात्रा है

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

अतः दीवार को चलने देने से उपलब्ध अंतिम एंट्रॉपी बढ़ती है।