दक्षता और प्रदर्शन गुणांक: क्लॉज़ियस असमिका से कार्नो सीमाएँ

प्रश्न 1. तीनों प्रचालन स्थानांतरणों की वास्तविक दिशा से पहचाने जाते हैं।

• इंजन में तरल गर्म भंडार से ऊष्मा प्राप्त करता है, ठंडे भंडार को ऊष्मा देता है और कार्य प्रदान करता है: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ और $W<0$।
• रेफ़्रिजरेटर और ऊष्मा पंप दोनों में तरल कार्य प्राप्त करता है, ठंडे भंडार से ऊष्मा लेता है और गर्म भंडार को ऊष्मा देता है: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ और $Q_{\mathrm{H}}<0$। दोनों मशीनें एक जैसी हैं; केवल अपेक्षित सेवा बदलती है: ठंडे भंडार को ठंडा करना या गर्म भंडार को गर्म करना।

एक चक्र में तरल अपनी आरंभिक अवस्था में लौट आता है, इसलिए उसकी आंतरिक ऊर्जा नहीं बदलती: $\Delta U=0$। प्रथम नियम $\Delta U=Q+W$ तीनों स्थितियों में देता है

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

प्रश्न 2. इंजन में $W<0$, अतः $|W|=-W$। प्रथम नियम $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$ देता है, जिससे

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

रेफ़्रिजरेटर या ऊष्मा पंप में $W>0$, और प्रथम नियम $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$ देता है। चूँकि $Q_{\mathrm{H}}<0$, इसलिए $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$। अतः

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

चूँकि $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

इंजन में $Q_{\mathrm{C}}<0$ और $Q_{\mathrm{H}}>0$, अतः $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ और $\eta <1$: दिया गया कार्य प्राप्त ऊष्मा से अधिक नहीं हो सकता, और इसकी गारंटी के लिए प्रथम नियम ही पर्याप्त है। इसके विपरीत, प्रदर्शन गुणांक $1$ से अधिक हो सकता है: ऊष्मा पंप अपने द्वारा दी गई ऊष्मा का उत्पादन नहीं करता, बल्कि उसे ठंडे से गर्म की ओर स्थानांतरित करता है, और प्राप्त कार्य उसका केवल एक भाग है। वास्तव में सदैव ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$ होता है, क्योंकि ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$।

प्रश्न 3. तरल केवल दोनों भंडारों से ऊष्मा का विनिमय करते हुए चक्र करता है। क्लॉज़ियस असमिका है

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

जिसमें समता तब और केवल तब होती है जब चक्र उत्क्रमणीय हो। ठंडे पद को अलग करके $T_{\mathrm{C}}>0$ से गुणा करें; इससे असमिका की दिशा बनी रहती है:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

इंजन में $Q_{\mathrm{H}}>0$: $Q_{\mathrm{H}}$ से भाग दें, जिससे असमिका की दिशा फिर बनी रहती है,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

इसे प्रश्न 2 के व्यंजक में रखने पर,

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

समता तब और केवल तब प्राप्त होती है जब क्लॉज़ियस असमिका समता हो, अर्थात उत्क्रमणीय चक्र के लिए: इस प्रकार कार्यकारी तरल के बारे में कोई परिकल्पना किए बिना कार्नो का पहला और तीसरा प्रमेय फिर से प्राप्त होता है। अंत में, $\eta =1$ के लिए $Q_{\mathrm{C}}=0$ आवश्यक होगा; तब क्लॉज़ियस असमिका $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$ बन जाएगी, जो $Q_{\mathrm{H}}>0$ का खंडन करती है। यही केल्विन–प्लांक कथन है: इंजन को अनिवार्य रूप से ठंडे भंडार को ऊष्मा देनी पड़ती है।

प्रश्न 4. इस बार क्लॉज़ियस असमिका से शुरू करके गर्म पद को अलग करें, फिर $T_{\mathrm{H}}>0$ से गुणा करें:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

जहाँ विपरीत मान लेने पर असमिका की दिशा उलट जाती है। दोनों पक्षों में $-Q_{\mathrm{C}}$ जोड़ें और $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$ का प्रयोग करें:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

दोनों पक्ष धनात्मक हैं। $W>0$ से भाग दें, फिर $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$ से गुणा करें:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

प्रश्न 2 के संबंध से,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

इंजन की तरह, ये सीमाएँ केवल उत्क्रमणीय मशीन द्वारा ही प्राप्त होती हैं।

प्रश्न 5. जब $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$, तब दक्षता की सीमा $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ शून्य की ओर जाती है: तापांतर के बिना कोई कार्य उत्पन्न नहीं किया जा सकता। इसके विपरीत, दोनों COP की सीमाएँ, जिनका हर $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ शून्य की ओर जाता है, अनंत की ओर जाती हैं: समान तापमान वाली दो वस्तुओं के बीच ऊष्मा स्थानांतरित करने में, उत्क्रमणीय सीमा में, कोई कार्य खर्च नहीं होता। जब $T_{\mathrm{C}}\to 0$, तब दक्षता की सीमा $1$ की ओर जाती है, और ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ की सीमा शून्य की ओर: अधिकाधिक ठंडी वस्तु से ऊष्मा निकालने में निकाले गए प्रति जूल अधिकाधिक कार्य लगता है: परम शून्य की ओर ठंडा करना उत्तरोत्तर महँगा होता जाता है। प्रश्न 6. रेफ़्रिजरेटर के लिए,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

फ़्रीज़र के लिए,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

निकाली गई ऊष्मा के प्रति जूल खर्च हुआ कार्य $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ है। इसलिए दोनों न्यूनतम खर्चों का अनुपात $18,5/6,7\approx 2,8$ है: आदर्श होने पर भी, समान ऊष्मा निकालने के लिए फ़्रीज़र रेफ़्रिजरेटर से लगभग तीन गुना अधिक कार्य खर्च करता है, क्योंकि पार किया जाने वाला तापांतर दोगुने से भी अधिक है। वास्तविक, अनुत्क्रमणीय उपकरण इन सीमाओं से काफ़ी नीचे रहते हैं।