एक ऊष्मा भंडार के संपर्क में संपीडन: उत्क्रमणीय या अचानक

प्रश्न 1. उत्क्रमणीय संपीडन में गैस भंडार के साथ ऊष्मीय संतुलन में रहती है: पूरे प्रक्रम में तापमान $T_0$ है। दाब धीरे-धीरे $P_0$ से $P_1=xP_0$ तक बढ़ता है। अंतिम अवस्था में,

$$P_{f,\mathrm{rev}}=xP_0,\qquad T_{f,\mathrm{rev}}=T_0,\qquad V_{f,\mathrm{rev}}=\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x},$$

यहाँ आरंभिक अवस्था समीकरण $nRT_0=P_0V_0$ का उपयोग हुआ है।

अचानक संपीडन में बाहरी दाब $P_1$ लगाया जाता है। अंतिम यांत्रिक संतुलन में गैस का दाब बाहरी दाब के बराबर है: $P_{f,\mathrm{irr}}=P_1=xP_0$। भंडार के साथ अंतिम ऊष्मीय संतुलन से $T_{f,\mathrm{irr}}=T_0$। अवस्था समीकरण देता है

$$V_{f,\mathrm{irr}}=\frac{nRT_{f,\mathrm{irr}}}{P_{f,\mathrm{irr}}} =\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x}.$$

अतः दोनों प्रक्रम समान अंतिम अवस्था $(P_f,T_f,V_f)=(xP_0,T_0,V_0/x)$ तक पहुँचते हैं।

प्रश्न 2. एंट्रॉपी अवस्था फलन है: परिवर्तन केवल आरंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर है, जो दोनों प्रयोगों में समान हैं। आदर्श गैस के लिए,

$$\Delta S_{\mathrm{gas}} =nc_V\ln\frac{T_f}{T_0}+nR\ln\frac{V_f}{V_0} =nc_V\ln1+nR\ln\frac1x=-nR\ln x.$$

अतः $\Delta S_{\mathrm{gas,rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas,irr}}=-nR\ln x<0$। गैस की एंट्रॉपी में यह कमी उत्पन्न एंट्रॉपी के बारे में अकेले कुछ नहीं बताती: भंडार के साथ आदान-प्रदान भी गिनना होगा।

प्रश्न 3. उत्क्रमणीय संपीडन में $P_{\mathrm{ext}}=P=nRT_0/V$। प्राप्त कार्य है

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{rev}}&=-\int_{V_0}^{V_0/x}\frac{nRT_0}{V}\,\mathrm dV\\ &=-nRT_0[\ln V]_{V_0}^{V_0/x} =-nRT_0\ln(1/x)=nRT_0\ln x>0. \end{aligned}$$

गैस आरंभिक तापमान पर लौटती है, इसलिए $\Delta U=nc_V(T_0-T_0)=0$। प्रथम नियम $\Delta U=Q+W$ से $Q_{\mathrm{rev}}=-W_{\mathrm{rev}}$। भंडार $T_0$ पर विपरीत चिह्न वाली ऊष्मा पाता है:

$$\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=\frac{-Q_{\mathrm{rev}}}{T_0}=nR\ln x.$$

गैस को प्राप्त एंट्रॉपी $S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}/T_0=-nR\ln x$ है, इसलिए $S_{\mathrm{i},\mathrm{rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}-S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=0$। भंडार को प्राप्त $S_{\mathrm{e},\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{rev}}/T_0$ उसके एंट्रॉपी परिवर्तन के बराबर है; वह भी एंट्रॉपी उत्पन्न नहीं करता। जोड़ने पर $\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=0$: समष्टि में उत्पादन शून्य है।

प्रश्न 4. अचानक संपीडन नियत बाहरी दाब $P_1$ के अधीन होता है। इसलिए प्राप्त कार्य है

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{irr}}&=-P_1(V_f-V_0) =-xP_0\left(\frac{V_0}{x}-V_0\right)\\ &=P_0V_0(x-1)=nRT_0(x-1)>0. \end{aligned}$$

अब भी $\Delta U=0$, अतः $Q_{\mathrm{irr}}=-nRT_0(x-1)$।

प्रश्न 5. भंडार $-Q_{\mathrm{irr}}$ प्राप्त करता है, जिससे

$$\Delta S_{\mathrm{th,irr}}=\frac{-Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}=nR(x-1).$$

गैस का संतुलन है

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=\frac{Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}+S_{\mathrm{i}}, \qquad S_{\mathrm{i}}=-nR\ln x+nR(x-1).$$

आदर्श भंडार को प्राप्त एंट्रॉपी $-Q_{\mathrm{irr}}/T_0$ उसके परिवर्तन के बराबर है: उसमें उत्पादन नहीं होता। गैस और भंडार की समष्टि किसी अन्य वस्तु से ऊष्मा नहीं लेती; बाहरी कार्य एंट्रॉपी नहीं ढोता। इसलिए उसकी एंट्रॉपी वृद्धि उत्पन्न हुई है:

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,irr}} =-nR\ln x+nR(x-1).$$

$f(x)=x-1-\ln x$ रखें। तब $f(1)=0$ तथा $x>1$ के लिए $f'(x)=1-1/x=(x-1)/x>0$। फलन शून्य से बढ़ता है, इसलिए $S_{\mathrm{i}}=nRf(x)>0$। दूसरी ओर,

$$W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}} =nRT_0(x-1)-nRT_0\ln x=T_0 S_{\mathrm{i}}.$$

दोनों मामलों में $Q=-W$ होने से अतिरिक्त कार्य ऊष्मा बनकर भंडार को चला जाता है। यही अनुत्क्रमणीयता की कीमत है।