कार्नो चक्र: प्रत्येक शाखा पर ऊर्जा और एंट्रॉपी

प्रश्न 1. चित्र में $AB$ और $CD$ रुद्धोष्म हैं, $BC$ गर्म समतापी और $DA$ ठंडी समतापी पर है। चक्र दक्षिणावर्त है। रुद्धोष्म $AB$ पर लाप्लास संबंध देता है

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

$1/(\gamma-1)$ घात लेकर और $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$ रखकर $V_A=bV_B$ मिलता है। इसी तरह $CD$ पर,

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

अतः $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: दोनों समतापी शाखाओं का आयतन अनुपात समान है, पर दिशाएँ विपरीत हैं।

प्रश्न 2. हर उत्क्रमणीय रुद्धोष्म शाखा पर $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ और $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

आदर्श गैस की समतापी शाखा पर $\mathrm dU=0$, इसलिए $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$। गर्म प्रसार के लिए,

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

ठंडे संपीडन में $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

$(S,T)$ आरेख में $AB$ और $CD$ पर एंट्रॉपी नियत है: ये शाखाएँ ऊर्ध्वाधर हैं। समतापी $BC$ और $DA$ क्षैतिज हैं। $S_A$ को सापेक्ष मूल चुनने पर निर्देशांक हैं

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{अवस्था}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

$nR\ln r$ चौड़ाई और $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ ऊँचाई का दक्षिणावर्त आयत मिलता है।

प्रश्न 3. एक चक्र में $\Delta U=0$। प्राप्त ऊर्जाएँ धनात्मक गिनने पर प्रथम नियम देता है

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

बाहर दिया कार्य $-W>0$ और गर्म स्रोत से प्राप्त ऊष्मा $Q_{BC}>0$ है। इसलिए दक्षता है

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

हर स्रोत को, गैस को दी गई ऊष्मा के विपरीत चिह्न की ऊष्मा मिलती है:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

गैस आरंभिक अवस्था में लौटती है, इसलिए $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$। तीनों परिवर्तनों का योग शून्य है: एंट्रॉपी उत्पन्न नहीं होती। बाहरी कार्य एंट्रॉपी नहीं ढोता।

प्रश्न 4. मशीन के लिए प्राप्त ऊर्जा धनात्मक रखने का नियम अपनाते हैं: $Q_{\mathrm{H}}>0$ गर्म स्रोत से प्राप्त ऊष्मा, $Q_{\mathrm{C}}<0$ ठंडे स्रोत से प्राप्त ऊष्मा और $W<0$ चक्र में प्राप्त कार्य है। स्रोत विपरीत ऊष्माएँ $-Q_{\mathrm{H}}$ और $-Q_{\mathrm{C}}$ पाते हैं। मशीन आरंभिक अवस्था में लौटती है और बाहर केवल कार्य जाता है, इसलिए स्रोतों का कुल एंट्रॉपी परिवर्तन उत्पन्न एंट्रॉपी है:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

$T_{\mathrm{C}}$ से गुणा करके $Q_{\mathrm{C}}$ अलग करने पर,

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

प्रथम नियम से $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$। पुनःप्राप्त कार्य $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$ है, जिससे

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

$T_{\mathrm{C}}>0$ और $Q_{\mathrm{H}}>0$ होने से धनात्मक एंट्रॉपी उत्पादन दक्षता घटाता है।

प्रश्न 5. गर्म स्रोत से मिली ऊष्मा दोनों इंजनों में समान है। प्रश्न 2 से,

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

उत्क्रमणीय इंजन की दक्षता है

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

प्रश्न 4 दोनों दक्षताओं का अंतर देता है:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

अंश $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ ऊर्जा है, इसलिए अनुपात विमाहीन है। गिरावट $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ प्रतिशत अंक है। अतः,

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

दक्षता $40\,\%$ से $28{,}2\,\%$ होती है; $11{,}8$ अंकों की गिरावट का अर्थ $11{,}8\,\%$ की सापेक्ष गिरावट नहीं है।