हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

एक रुद्धोष्म वक्र पर मैक्सवेल संबंध की जाँच

अभ्यास 35 · पाठ 7 — गणितीय संरचना: मूल संबंध

प्रश्न

स्थिर संघटन वाले एक बंद निकाय के लिए,

d U = T d S - P d V .

अचर मोलर ऊष्मा धारिता $c_{V}$ वाली एक आदर्श गैस पर विचार करें, और $γ = c_{P} / c_{V}$ लिखें, जहाँ $c_{P} - c_{V} = R$ ।

$U (S, V)$ के अवकल से मैक्सवेल संबंध $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V}$ प्राप्त करें।
$T V^{γ - 1} = const$ से बायाँ पक्ष निकालें।
$P = n R T / V$ और स्थिर आयतन पर $d S = n c_{V} d T / T$ का प्रयोग करके दायाँ पक्ष अलग से निकालें।
जाँचें कि दोनों परिणाम समान हैं।

संकेत

प्रश्न 1 में

T = (\partial U / \partial S)_{V}

और

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

पहचानें, फिर अवकलजों का क्रम बदलें।

हल

U

के प्राकृतिक चर

S

और

V

हैं। अतः

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

चूँकि $U$ के मिश्रित अवकलज बराबर हैं,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. उत्क्रमणीय रुद्धोष्म वक्र पर $T V^{γ - 1} = K$ । अचर एंट्रॉपी पर अवकलन करने पर,

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

$V^{γ - 1} d V$ से भाग देने के बाद,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. स्थिर आयतन पर $P = n R T / V$ , अतः

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

परंतु स्थिर आयतन पर $d S = n c_{V} d T / T$ , जिससे $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ । अतः

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. मेयर संबंध देता है $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ । इसलिए दायाँ पक्ष $- (γ - 1) T / V$ है, ठीक बाएँ पक्ष के बराबर।