हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

पाठ्य-अभ्यास: मूल रूपांतरण

अभ्यास 9 · पाठ 5 — आदर्श गैस पर अनुप्रयोग

पाठ्य-अभ्यास
एकपरमाणुक आदर्श गैस
समआयतनी रूपांतरण
समतापी रूपांतरण
समदाबी रूपांतरण
आंतरिक ऊर्जा
कार्य
ऊष्मा
प्रथम नियम

प्रश्न

हम एकपरमाणुक आदर्श गैस के $n$ मोल पर विचार करते हैं, जो प्रारंभ में अवस्था $A(P_A,V_A,T_i)$ में है। हम $A$ से प्रारंभ होने वाले तीन अर्ध-स्थैतिक रूपांतरणों का अलग-अलग अध्ययन करते हैं, जहाँ $T_f>T_i$ है:

$A\to B$ : $T_i$ से $T_f$ तक समआयतनी तापन;
$A\to C$ : $T_i$ पर $V_A$ से $V_A/2$ तक समतापी संपीडन;
$A\to D$ : $T_i$ से $T_f$ तक समदाबी तापन।

हम बैंकर चिह्न परंपरा अपनाते हैं: गैस द्वारा प्राप्त ऊर्जा-अंतरण धनात्मक होते हैं।

तीनों रूपांतरणों को एक ही क्लैपेरॉन आरेख $(P,V)$ में दर्शाइए और अवस्थाएँ $B$ , $C$ तथा $D$ औपचारिक रूप से निर्धारित कीजिए।
तीनों रूपांतरणों में से प्रत्येक के लिए $W$ , $\Delta U$ और $Q$ औपचारिक रूप से निकालिए।
ऊर्जा-अंतरणों के चिह्नों पर टिप्पणी कीजिए।
संख्यात्मक अनुप्रयोग: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ और $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ ।

संकेत

एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,

\Delta U=\frac32nR\Delta T

।

W=-\int P\,\mathrm{d}V

और प्रथम नियम

\Delta U=Q+W

का उपयोग कीजिए।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। आदर्श गैस का अवस्था समीकरण देता है

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{अवस्था} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

आरेख $(P,V)$ में, $A\to B$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, $A\to C$ बाईं ओर समतापी वक्र $T_i$ का अनुसरण करता है और $A\to D$ दाईं ओर एक क्षैतिज रेखा है।

प्रश्न 2।

समआयतनी तापन $A\to B$ । चूँकि $\mathrm{d}V=0$ ,

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

समतापी संपीडन $A\to C$ । तापमान अचर है, अतः $\Delta U_{AC}=0$ । साथ ही,

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

समदाबी तापन $A\to D$ । अचर दाब पर, $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ , इसलिए

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

प्रश्न 3। समआयतनी रूपांतरण में प्राप्त पूरी ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाती है। समतापी संपीडन के दौरान गैस कार्य प्राप्त करती है और ठीक उतनी ही ऊर्जा ऊष्मा के रूप में छोड़ती है। समदाबी रूपांतरण में गैस ऊष्मा प्राप्त करती है, अपनी आंतरिक ऊर्जा बढ़ाती है और प्रसारित होते हुए कार्य प्रदान करती है।

प्रश्न 4। यहाँ $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ है:

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{रूपांतरण} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{समआयतनी }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{समतापी }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{समदाबी }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}