हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

समएंट्रॉपी प्रसार और मूलभूत संबंध का पुनर्निर्माण

अभ्यास 38 · पाठ 7 — गणितीय संरचना: मूल संबंध

मूलभूत संबंध
समएंट्रॉपी प्रसार
अवस्था समीकरण
एंट्रॉपी निरूपण
समाकलनीयता शर्त
मोलर राशियाँ

प्रश्न

भाग A. एक निकाय का वर्णन मोलर मूलभूत संबंध

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)}

द्वारा होता है, जहाँ $u$ , $v$ और $s$ क्रमशः मोलर आंतरिक ऊर्जा, मोलर आयतन और मोलर एंट्रॉपी हैं, $A > 0$ एक नियतांक है और $R$ आदर्श गैस नियतांक है। आरंभिक अवस्था तापमान $T_{0}$ और दाब $P_{0}$ से निर्धारित है।

$T$ और $P$ को $u$ और $v$ के रूप में लिखें। इससे $P$ , $v$ और $T$ को जोड़ने वाला अवस्था समीकरण प्राप्त करें।
निकाय का समएंट्रॉपी प्रसार तब तक किया जाता है जब तक उसका दाब आठवाँ भाग न रह जाए। अंतिम तापमान को केवल $T_{0}$ के रूप में लिखें।

भाग B. स्थिर पदार्थ मात्रा वाला एक अन्य निकाय दो अवस्था समीकरणों

U = 2 P V, P = B T^{3}

का पालन करता है, जहाँ $B > 0$ एक नियतांक है।

$1/ T$ और $P / T$ को $U$ और $V$ के रूप में लिखें।
मूलभूत संबंध $S (U, V)$ तभी अस्तित्व में हो सकता है जब मिश्रित अवकलज बराबर हों: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ । इस शर्त की जाँच करें।
एक नियतांक तक मूलभूत संबंध $S (U, V)$ ज्ञात करें। जाँचें कि यह दोनों अवस्था समीकरण फिर से देता है, और फिर कि यह व्यापक है।

संकेत

भाग A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

और

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

; समएंट्रॉपी वक्र के अनुदिश

s

स्थिर है और सब कुछ

v

के रूप में व्यक्त होता है। भाग B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

। पहले स्थिर

V

पर

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

का समाकलन करें और एक फलन

f (V)

जोड़ें, फिर

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

की सहायता से

f

ज्ञात करें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1. स्थिर

v

पर

s

के सापेक्ष

e^{s / (3 R)}

का अवकलज

e^{s / (3 R)} / (3 R)

है, जिससे

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

स्थिर $s$ पर $v^{- 1/2}$ का अवकलज $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ है, जिससे

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

पहला संबंध $u = 3 R T$ देता है। इसे दूसरे में रखने पर,

P = \frac{3 R T}{2 v}, अर्थात P v = \frac{3}{2} R T .

प्रश्न 2. समएंट्रॉपी वक्र के अनुदिश $s$ अचर है, अतः $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ , $v^{- 1/2}$ के समानुपाती है। इससे

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

दाब को आठ से भाग देने के लिए आवश्यक है

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

तापमान $v^{- 1/2}$ के समानुपाती होने से,

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

प्रश्न 3. दोनों अवस्था समीकरण $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ देते हैं, जिससे

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

दूसरी ओर $P / T = B T^{2}$ , और $T$ प्रतिस्थापित करने पर,

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

प्रश्न 4. स्थिर $U$ पर $1/ T$ का $V$ के सापेक्ष अवकलन करें:

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

स्थिर $V$ पर $P / T$ का $U$ के सापेक्ष अवकलन करें:

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

चूँकि $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ , पहला परिणाम $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है: दोनों मिश्रित अवकलज बराबर हैं। अतः रूप $(1/ T) d U + (P / T) d V$ किसी फलन $S (U, V)$ का अवकल हो सकता है। यादृच्छिक रूप से चुने गए दो अवस्था समीकरण सामान्यतः इस शर्त को संतुष्ट नहीं करते।

प्रश्न 5. स्थिर

V

पर

1/ T

का

U

के सापेक्ष समाकलन करें।

U^{- 1/3}

का एक प्रतिअवकलज

\frac{3}{2} U^{2/3}

है, जिससे

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

जहाँ $f$ केवल $V$ का फलन है। $V$ के सापेक्ष अवकलन करें:

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

परंतु $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : पहला पद ठीक $P / T$ है। अतः $f^{'} (V) = 0$ होना चाहिए, अर्थात $f$ अचर है, और

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

विलोमतः, इस फलन के अवकलज प्रश्न 3 के $1/ T$ और $P / T$ फिर से देते हैं, अतः आरंभिक दोनों अवस्था समीकरण भी। अंत में, $U$ और $V$ को $λ$ से गुणा करने पर गुणनफल $V U^{2}$ , $λ^{3}$ से और उसका घनमूल $λ$ से गुणा होता है: योज्य नियतांक को छोड़कर $S$ एक घात का समघात है, अतः व्यापक है।