हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

ब्रह्मांड में फोटॉन गैस

अभ्यास 39 · पाठ 7 — गणितीय संरचना: मूल संबंध

फोटॉन गैस
विकिरण
ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि
मूलभूत संबंध
रुद्धोष्म प्रसार
समघात फलन
शून्य रासायनिक विभव

प्रश्न

ब्रह्मांड के आरंभिक क्षणों में पदार्थ नाभिकों, इलेक्ट्रॉनों और फोटॉनों का एक गर्म प्लाज़्मा है। लगभग $T_{i} \approx 3000 K$ पर पहले परमाणु बनते हैं और फोटॉन मुक्त हो जाते हैं। मान लें कि उस क्षण फोटॉन गैस तापमान $T_{i}$ पर साम्यावस्था में है, और फिर ब्रह्मांड के प्रसार के साथ उसका उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार होता है। उसका मूलभूत संबंध

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4}

स्वीकार करें, जहाँ $a$ एक विमीय धनात्मक नियतांक है। एंट्रॉपी फोटॉनों की संख्या $N$ पर निर्भर नहीं करती: यह संख्या संरक्षित नहीं है।

एक घात के समघात फलन की परिभाषा याद करें और दिखाएँ कि $S$ ऐसा फलन है।
स्थिर $V$ पर $U$ के फलन के रूप में $S$ का रूप-रेखा चित्र बनाएँ। क्या यह फलन अवतल है? टिप्पणी करें।
$S$ के अवकलजों से $T$ , $P$ और $μ$ ज्ञात करें। विशेष रूप से दिखाएँ कि $U = a^{4} V T^{4}$ और $P = U / (3 V)$ , फिर $μ$ के मान पर टिप्पणी करें।
इस गैस के लिए प्रथम नियम लिखें और उसे उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार के लिए विशिष्ट करें। इससे इस प्रक्रम के अनुदिश $U$ और $V$ के बीच संबंध प्राप्त करें।
इससे निष्कर्ष निकालें कि प्रसार के दौरान $V T^{3}$ अचर रहता है।
$T$ और $V$ के रूप में व्यक्त एंट्रॉपी से यह परिणाम सीधे पुनः प्राप्त करें।
फोटॉन गैस आज $T_{f} \approx 3 K$ पर प्रेक्षित होती है: यह ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि है। उत्सर्जन के बाद से ब्रह्मांड का आयतन किस गुणक से गुणा हुआ है?

संकेत

एंट्रॉपी निरूपण में

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

और

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

। प्रश्न 4 के लिए, उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रम

d S = 0

को संतुष्ट करता है, अतः

d U = - P d V

: चरों को अलग करें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1. अनेक चरों का फलन

f

एक घात का समघात है यदि सभी

λ > 0

के लिए

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

हो। यहाँ,

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

अतः फोटॉन गैस की एंट्रॉपी व्यापक है।

प्रश्न 2. स्थिर

V

पर

S

U^{3/4}

के समानुपाती है। उसका प्रथम अवकलज

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0

धनात्मक है: $S$ , $U$ के साथ बढ़ता है, और तापमान धनात्मक है। उसका द्वितीय अवकलज

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0

ऋणात्मक है: $S$ , $U$ में अवतल है। वक्र मूलबिंदु से ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के साथ आरंभ होता है, फिर अपनी जीवाओं के ऊपर रहते हुए झुकता जाता है। यह अवतलता फोटॉन गैस की साम्यावस्था के स्थायित्व को व्यक्त करती है।

प्रश्न 3. प्रश्न 2 के अनुसार,

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

स्थिर $U$ पर $V$ के सापेक्ष अवकलज है

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

परंतु $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , जिससे

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

अंत में, $S$ , $N$ पर निर्भर नहीं करता, अतः $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ । फोटॉनों का रासायनिक विभव शून्य है: उनकी संख्या संरक्षित न होने से वह साम्य पर स्वतंत्र रूप से समायोजित होती है, और एक फोटॉन जोड़ने में कुछ खर्च नहीं होता।

प्रश्न 4. पद

μ d N

शून्य होने से अवकल मूलभूत संबंध

d U = T d S - P d V

लिखा जाता है। उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार के लिए

d S = 0

, अतः

P = U / (3 V)

के साथ,

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

आरंभिक अवस्था और प्रसार की किसी भी अवस्था के बीच समाकलन करने पर $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , अर्थात

U V^{1/3} = const .

प्रश्न 5. $U$ के स्थान पर $a^{4} V T^{4}$ रखें:

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

चूँकि $a$ अचर है, $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ अचर है, अतः $V^{1/3} T$ भी अचर है; घन करने पर $V T^{3} = const$ ।

प्रश्न 6.

U

के स्थान पर

a^{4} V T^{4}

रखकर

S

को

T

और

V

के रूप में व्यक्त करें:

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार समएंट्रॉपी है: $S$ अचर है, अतः $V T^{3}$ भी। प्रश्न 5 का परिणाम सीधे पुनः प्राप्त होता है।

प्रश्न 7. चूँकि

V T^{3}

संरक्षित है,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

उत्सर्जन के बाद से ब्रह्मांड का आयतन एक अरब गुना हो गया है, जो दूरियों पर $1 0^{3}$ के गुणक के संगत है। लगभग $3000 K$ पर उत्सर्जित और प्रसार द्वारा ठंडा हुआ विकिरण ही वह ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि है जो आज $2, 7 K$ पर मापी जाती है।