हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

किसी निकाय का आकार बदलना

अभ्यास 7 · पाठ 3 — मूल अवधारणाएँ

व्यापकता
सघनता
समघातता
पृष्ठ
विमीय विश्लेषण

प्रश्न

एक सामान्य समांगी निकाय का द्रव्यमान $m$ , आयतन $V$ , कण संख्या $N$ , आंतरिक ऊर्जा $U$ , तापमान $T$ और दाब $P$ है। यहाँ $U$ को व्यापक माना गया है, अर्थात दीर्घ-परास अंतःक्रियाओं और किनारी प्रभावों की उपेक्षा की गई है। सघन अवस्था को नियत रखते हुए निकाय का आकार बदला जाता है: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , जहाँ $λ > 0$ है, जबकि $T$ और $P$ अपरिवर्तित रहते हैं।

$m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ और $V^{1/3}$ की समघातता की घात ज्ञात करें। कौन-सी राशियाँ व्यापक हैं, कौन-सी सघन, और कौन-सी इनमें से कोई नहीं?
किसी ऊर्जा के लिए दो व्यंजक प्रस्तावित हैं, $U_{1} = a N k_{B} T$ और $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , जहाँ $a > 0$ विमाहीन है और निकाय के आकार पर निर्भर नहीं करता। इनकी विमाएँ जाँचें, फिर ज्ञात करें कि इनमें से कौन-सा व्यापकता की परिकल्पना के अनुकूल है। स्मरण कराएँ कि ये दोनों जाँचें अलग-अलग क्यों हैं।
त्रिज्या $R$ वाले गोले के लिए क्षेत्रफल $A$ को आयतन $V$ के फलन के रूप में व्यक्त करें। नियत घनत्व पर एक ही गोले को बड़ा करने पर $A$ और $A / V$ की समघातता की घातें ज्ञात करें।
आयतन $8 V$ वाले एक गोले के क्षेत्रफल की तुलना ऐसे आठ अलग-अलग गोलों के कुल क्षेत्रफल से करें, जिनमें से प्रत्येक का आयतन $V$ है। समझाएँ कि “किसी वस्तु को बड़ा करना” और “उसकी प्रतियाँ साथ-साथ रखना” उसके अंतरापृष्ठों के क्षेत्रफल के लिए समान परिणाम क्यों नहीं देते।

संकेत

प्रत्येक राशि को स्केल-परिवर्तन के बाद के उसके मान से प्रतिस्थापित करें।

k

घात की समघात राशि के लिए प्राप्त गुणक

λ^{k}

होना चाहिए। गोले के लिए

V = 4 π R^{3} /3

और

A = 4 π R^{2}

से आरंभ करें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। गुणनफल में स्केल-गुणक आपस में गुणा होते हैं और भागफल में भाग। स्पष्ट रूप से प्राप्त होता है

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

ये तीनों अनुपात $0$ घात के हैं, अतः सघन हैं। आगे,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

इस प्रकार $P V$ और $U^{2} / V$ की घात $1$ है, अतः ये दिए गए स्केलन-नियम के अर्थ में व्यापक हैं; $V^{1/3}$ की घात $1/3$ है, अतः यह न व्यापक है न सघन। समघातता की घात मात्रकों के बारे में कुछ नहीं बताती: $P V$ जूल में व्यक्त होता है, किंतु $U^{2} / V$ का मात्रक $J^{2} m^{- 3}$ है।

प्रश्न 2।

N

एक विमाहीन संख्या है और

k_{B}

का मात्रक

J K^{- 1}

है। अतः दोनों व्यंजकों की विमा ऊर्जा की विमा है। तथापि,

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

केवल $U_{1}$ मानी गई व्यापकता के अनुकूल है। इसलिए कोई सूत्र सही मात्रकों वाला होते हुए भी निकाय के आकार पर गलत निर्भरता दिखा सकता है। इसका अर्थ यह नहीं कि हर अव्यापक ऊर्जा वर्जित है: इस अभ्यास में स्वीकार की गई परिकल्पना ही $U_{2}$ को अस्वीकार्य बनाती है।

प्रश्न 3। त्रिज्या को अलग करके क्षेत्रफल में प्रतिस्थापित करते हैं:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

अतः $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : क्षेत्रफल की घात $2/3$ है। $λV$ से भाग देने पर $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ मिलता है। क्षेत्रफल और आयतन का अनुपात $- 1/3$ घात का है और गोले के बड़ा होने पर घटता है।

प्रश्न 4। एकल गोले के लिए

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

। इसके विपरीत, आठ अलग गोलों का कुल क्षेत्रफल

8 A (V)

है। अतः उनका कुल क्षेत्रफल दोगुना है। किसी संहत वस्तु को बड़ा करने पर उसकी आकृति बनी रहती है और अंतरापृष्ठों का सापेक्ष योगदान घटता है। प्रतियों को साथ-साथ रखने पर सभी प्रतियों के सारे अंतरापृष्ठ बने रहते हैं। पृष्ठीय योगदानों का अध्ययन करते समय ज्यामितीय संक्रिया स्पष्ट करनी चाहिए; आयतन के व्यापक वर्णन में ठीक इन्हीं योगदानों की उपेक्षा की जाती है।