हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

स्वतंत्र चरों की गणना

अभ्यास 8 · पाठ 3 — मूल अवधारणाएँ

अवस्था समीकरण
स्वतंत्रता-कोटियाँ
प्रतिबंध
अवस्था निर्देशांक

प्रश्न

किसी आदर्श गैस की साम्यावस्थाओं का वर्णन चार धनात्मक चरों $(P, V, T, n)$ से किया जाता है, जो $P V = n R T$ द्वारा परस्पर संबद्ध हैं। सुलभ अवस्थाओं के समुच्चय की विमा $d = q - r$ ज्ञात करनी है, जहाँ $q$ प्रयुक्त चरों की संख्या है और $r$ स्वतंत्र संबंधों की संख्या।

जब $n$ बदल सकता हो, तब $q$ , $r$ और $d$ ज्ञात करें। तीन स्वतंत्र निर्देशांक प्रस्तावित करें और चौथे चर को उनके पदों में व्यक्त करें।
नियत पदार्थ की मात्रा $n = n_{0}$ के लिए गणना फिर से करें, फिर तब जब $T = T_{0}$ भी आरोपित हो, और अंत में तब जब $V = V_{0}$ भी आरोपित हो। प्रत्येक चरण पर सुलभ अवस्थाओं के लिए निर्देशांकों का एक चयन दें।
एक विद्यार्थी $P V = n R T$ के साथ संबंध $P = n R T / V$ जोड़ता है और दो अवस्था समीकरण गिनता है। उसकी भूल स्पष्ट करें।
नियत पदार्थ की मात्राओं $n_{1}, n_{2}$ वाली दो आदर्श गैसें कुल आयतन $V_{tot}$ वाले एक पात्र के कक्षों में भरी हैं। उन्हें एक ऊष्मापारगम्य पिस्टन अलग करता है, जो घर्षण के बिना और बिना किसी बाहरी बल के गति कर सकता है। उभयनिष्ठ तापमान नियत नहीं किया जाता। साम्य पर $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ के बीच स्वतंत्र संबंधों की गिनती करें। आयतनों और उभयनिष्ठ दाब को शेष बचे एक निर्देशांक के फलन के रूप में व्यक्त करें।

संकेत

प्रश्न 2 की तीनों गणनाओं में आरंभिक चारों चर बनाए रखें और प्रत्येक चरण पर एक प्रतिबंध जोड़ें। पिस्टन के लिए दोनों अवस्था समीकरणों, कुल आयतन, ऊष्मीय साम्य और यांत्रिक साम्य का उपयोग करें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1।

q = 4

चर और एक स्वतंत्र संबंध प्रयुक्त होते हैं, अर्थात

r = 1

और

d = 3

।

(V, T, n)

चुने जा सकते हैं: तब शेष चर

P = n R T / V

है। शर्त

V > 0

इस भाग को संभव बनाती है। प्रश्न 2। बंद गैस के लिए संबंध

P V = n R T

और

n = n_{0}

हैं, अतः

r = 2

और

d = 4 - 2 = 2

। युग्म

(V, T)

उपयुक्त है, जहाँ

P = n_{0} R T / V

। यदि आरंभ से ही

n

को चरों की सूची से हटा दिया जाता, तो भी

q = 3

r = 1

और इसलिए वही

d = 2

प्राप्त होता। अतिरिक्त प्रतिबंध

T = T_{0}

से

r

बढ़कर

3

हो जाता है और

d = 1

मिलता है। अवस्थाओं के प्राचलीकरण के लिए आयतन

V

पर्याप्त है, क्योंकि

P = n_{0} R T_{0} / V

। अंत में

V = V_{0}

आरोपित करने से

r

बढ़कर

4

हो जाता है और

d = 0

मिलता है: केवल एक अद्वितीय अवस्था बचती है, जिसमें

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

। इस अंतिम समुच्चय के लिए किसी मुक्त निर्देशांक की आवश्यकता नहीं होती। ये प्रतिबंध सुलभ समुच्चय को छोटा करते हैं, न कि प्रतिबंधरहित गैस के वर्णन के लिए आवश्यक चरों की संख्या को। प्रश्न 3। चूँकि

V > 0

, दूसरा रूप पहले को

V

से भाग देकर प्राप्त होता है। जो भी अवस्था एक को संतुष्ट करती है, वह स्वतः दूसरे को भी संतुष्ट करती है। अतः दूसरा संबंध कोई अतिरिक्त अवस्था नहीं हटाता और

r

को नहीं बढ़ाता। गिनती स्वतंत्र प्रतिबंधों की करनी होती है, समीकरणों की पंक्तियों की नहीं। प्रश्न 4। छह चर ये पाँच संबंध संतुष्ट करते हैं:

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

मान लें $T = T_{1} = T_{2}$ और $P = P_{1} = P_{2}$ । दोनों अवस्था समीकरणों को जोड़ने पर

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

इसे प्रत्येक अवस्था समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

गुणक $R T$ आयतनों के व्यंजकों में कट जाता है, किंतु दाब के व्यंजक में नहीं। तापमान $T > 0$ मुक्त रहता है और शेष सभी चरों को निर्धारित करता है: पाँचों संबंध वास्तव में स्वतंत्र हैं और $d = 6 - 5 = 1$ । कोई अतिरिक्त ऊर्जा-संबंधी आँकड़ा किसी विशेष अवस्था का चयन कर सकता है; यहाँ ऐसा कोई आँकड़ा आरोपित नहीं है।