हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

किसी पथ के अनुदिश अवकल रूप का समाकलन

अभ्यास 6 · पाठ 4 — ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम

  • अवकल रूप
  • यथार्थ अवकल
  • श्वार्ज कसौटी
  • रेखा समाकल

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प्रश्न

दो अवकल रूप

ω1=y dx+x dy,ω2=y dx,\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

और मूलबिंदु O(0,0)O(0,0) को M(1,1)M(1,1) से जोड़ने वाले तीन पथ लें: γ1\gamma_1 में क्षैतिज खंड O→(1,0)O\to(1,0) के बाद ऊर्ध्वाधर खंड (1,0)→M(1,0)\to M है; γ2\gamma_2 में ऊर्ध्वाधर खंड O→(0,1)O\to(0,1) के बाद क्षैतिज खंड (0,1)→M(0,1)\to M है; और γ3\gamma_3 OO तथा MM को सीधे जोड़ने वाला रेखाखंड है।

  1. ऐसा फलन ff देकर दिखाएँ कि ω1=df\omega_1 = \mathrm{d}f है, अतः ω1\omega_1 यथार्थ है।
  2. प्रत्येक खंड का प्राचलीकरण करके ∫γ1ω1\int_{\gamma_1}\omega_1 और ∫γ2ω1\int_{\gamma_2}\omega_1 निकालें। बिना गणना भी परिणाम पाएँ।
  3. ω2\omega_2 पर श्वार्ज कसौटी लगाएँ। क्या निष्कर्ष मिलता है?
  4. ∫γ1ω2\int_{\gamma_1}\omega_2, ∫γ2ω2\int_{\gamma_2}\omega_2 और ∫γ3ω2\int_{\gamma_3}\omega_2 निकालकर टिप्पणी करें।

संकेत
क्षैतिज खंड पर dy=0\mathrm{d}y = 0 और ऊर्ध्वाधर खंड पर dx=0\mathrm{d}x = 0 होता है; हर समाकल साधारण एकचर समाकल में बदल जाता है।

विस्तृत हल

हल
प्रश्न 1। f(x,y)=xyf(x,y) = xy उपयुक्त है, क्योंकि ∂f/∂x=y\partial f/\partial x = y तथा ∂f/∂y=x\partial f/\partial y = x।

प्रश्न 2। t↦(x(t),y(t))t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr) से प्राचलित वक्र के लिए

∫γω1=∫[y(t)x′(t)+x(t)y′(t)],dt.\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right],\mathrm{d}t.

γ1\gamma_1 के पहले खंड पर x(t)=tx(t)=t, y(t)=0y(t)=0 और दूसरे पर x(t)=1x(t)=1, y(t)=ty(t)=t है; दोनों में t∈[0,1]t\in[0,1]। अतः

I1=∫γ1ω1=∫01(0×1+t×0) dt+∫01(t×0+1×1) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t +\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

γ2\gamma_2 के पहले खंड पर x(t)=0x(t)=0, y(t)=ty(t)=t और दूसरे पर x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1 है। इसलिए

I2=∫γ2ω1=∫01(t×0+0×1) dt+∫01(1×1+t×0) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t +\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

दोनों मान समान हैं। ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f और f(x,y)=xyf(x,y)=xy होने से समाकल केवल सिरों पर निर्भर है:

∫γω1=f(M)−f(O)=f(1,1)−f(0,0)=1.\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

प्रश्न 3। ω2=A(x,y) dx+B(x,y) dy\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y लिखें। यहाँ A(x,y)=yA(x,y)=y, B(x,y)=0B(x,y)=0। यथार्थ रूप के लिए श्वार्ज कसौटी देती

∂A∂y=∂B∂x.\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

परंतु ∂A/∂y=1\partial A/\partial y=1 और ∂B/∂x=0\partial B/\partial x=0 हैं। मिश्रित अवकलज असमान हैं, अतः ω2\omega_2 यथार्थ नहीं है और उसका समाकल OO से MM तक चुने गए पथ पर निर्भर हो सकता है।

प्रश्न 4। ω2=y dx\omega_2=y\,\mathrm{d}x में केवल अशून्य yy पर xx का परिवर्तन योगदान देता है। अतः

J1=∫γ1ω2=∫010×1 dt+∫01t×0 dt=0.\begin{aligned} J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t=0. \end{aligned}

γ2\gamma_2 के पहले खंड पर dx=0\mathrm{d}x=0 और दूसरे पर x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1 है, इसलिए

J2=∫γ2ω2=∫01t×0 dt+∫011×1 dt=1.\begin{aligned} J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

विकर्ण खंड γ3\gamma_3 के लिए

x(t)=t,y(t)=t,t∈[0,1],x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

अतः

J3=∫γ3ω2=∫01y(t)x′(t) dt=∫01t dt=12.J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1t\,\mathrm{d}t=\frac12.

समान सिरों के बावजूद J1=0J_1=0, J2=1J_2=1, J3=1/2J_3=1/2 हैं। यही गैर-यथार्थ अवकल रूप की पथ-निर्भरता है।