प्रश्न

यह अभ्यास केवल एक सुप्रसिद्ध परंपरागत उदाहरण ही नहीं है: उत्क्रमणीय और अनुत्क्रमणीय रूपांतरणों के बीच एक अंतर प्रदर्शित करने के लिए भी यह मूलभूत है (पाठ 6 भी देखें)।

हम आदर्श गैस के $n$ मोल पर विचार करते हैं, जिसकी ऊष्मा क्षमताएँ अचर हैं और जिसके लिए अनुपात $\gamma=c_P/c_V>1$ है। यह गैस अनुप्रस्थ क्षेत्रफल $\mathcal S$ के एक ऊष्मारोधित ऊर्ध्वाधर बेलन में बंद हैं। बेलन नगण्य द्रव्यमान के ऊष्मारोधित पिस्टन से बंद है, जो बिना घर्षण के चल सकता है। बाहर वायुमंडलीय दाब $P_0$ है, जो पिस्टन की ऊपरी सतह पर लगता है। आरंभिक साम्य में गैस का दाब भी $P_0$ है और उसकी अवस्था है

A=(P_0,V_0,T_0).

हमारे पास कुल द्रव्यमान $M$ का एक अतिरिक्त भार है। जब उसे पूरा पिस्टन पर रख दिया जाता है, तब बाह्य दाब होता है

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0, \qquad x>1.

हम दो प्रयोगों की तुलना करते हैं: पहले में द्रव्यमान $M$ को बहुत-से छोटे द्रव्यमानों में बाँटकर एक-एक करके रखा जाता है और हर बार नए साम्य की प्रतीक्षा की जाती है; दूसरे में पूरा द्रव्यमान $M$ एक ही बार में रख दिया जाता है। इसके बाद अतिरिक्त भार को भी उसी ढंग से हटाया जाता है: या तो रेत का एक-एक दाना हटाकर, या पूरा भार एक ही बार में।

दोनों प्रयोग केंद्र में दिखाई गई समान आरंभिक अवस्था A से शुरू होते हैं: उस समय पिस्टन पर केवल वायुमंडलीय दाब P_0 लगता है। बाईं ओर, कुल द्रव्यमान M का अतिरिक्त भार रेत का एक-एक दाना रखकर डाला जाता है, जिससे P_ ext क्रमशः बढ़ता है; उसे इसी ढंग से हटाने पर पथ विपरीत दिशा में तय होता है। दाईं ओर, वही द्रव्यमान M एक ही बार में रख दिया जाता है: P_ ext अचानक P_0 से P_1 हो जाता है। संपीडन के दोनों प्रयोगों में P_1=P_0+Mg/ S=xP_0। — चित्र 1. दोनों प्रयोग केंद्र में दिखाई गई समान आरंभिक अवस्था $A$ से शुरू होते हैं: उस समय पिस्टन पर केवल वायुमंडलीय दाब $P_0$ लगता है। बाईं ओर, कुल द्रव्यमान $M$ का अतिरिक्त भार रेत का एक-एक दाना रखकर डाला जाता है, जिससे $P_{\mathrm{ext}}$ क्रमशः बढ़ता है; उसे इसी ढंग से हटाने पर पथ विपरीत दिशा में तय होता है। दाईं ओर, वही द्रव्यमान $M$ एक ही बार में रख दिया जाता है: $P_{\mathrm{ext}}$ अचानक $P_0$ से $P_1$ हो जाता है। संपीडन के दोनों प्रयोगों में $P_1=P_0+Mg/\mathcal S=xP_0$ ।

अतिरिक्त भार बहुत धीरे-धीरे जोड़ा जाता है, जिससे बाह्य दाब क्रमशः $P_0$ से $P_1$ तक बढ़ता है। सिद्ध कीजिए कि हर क्षण गैस का दाब $P$ बाह्य दाब $P_{\mathrm{ext}}$ के बराबर है। तब गैस की क्रमिक अवस्थाओं को जोड़ने के लिए किस नियम का उपयोग किया जा सकता है? इससे $P_B/P_0$ , $T_B/T_0$ और $V_B/V_0$ को $x$ तथा $\gamma$ के फलन के रूप में निकालिए।
अब अवस्था $B$ से प्रारंभ करके अतिरिक्त भार को बहुत धीरे-धीरे, रेत का एक-एक दाना हटाते हुए, तब तक हटाया जाता है जब तक बाह्य दाब फिर $P_0$ न हो जाए। पिछले प्रश्न वाले नियम का उपयोग करके दिखाइए कि गैस ठीक अपनी आरंभिक अवस्था $A$ में लौट आती है।
फिर $A$ से प्रारंभ करके इस बार पूरा द्रव्यमान $M$ एक ही बार में रख दिया जाता है: बाह्य दाब अचानक अचर मान $P_1$ ग्रहण करता है। अंतिम अवस्था $B'$ तथा $W_{AB'}$ , $Q_{AB'}$ और $\Delta U_{AB'}$ पूर्णतः निर्धारित कीजिए।
पहले $\gamma=5/3$ और $x=2$ का उदाहरण लेकर $T_{B'}$ की $T_B$ से संख्यात्मक तुलना कीजिए। फिर प्रत्येक $\gamma>1$ और प्रत्येक $x>1$ के लिए विश्लेषणात्मक रूप से तुलना स्थापित कीजिए और उसके बाद $V_{B'}$ की $V_B$ से तुलना कीजिए। दोनों में से कौन-सा संपीडन गैस को अधिक गर्म करता है और कौन-सा उसे अधिक संपीडित करता है?
$B'$ से पूरा अतिरिक्त भार अचानक हटा दिया जाता है: बाह्य दाब फिर वायुमंडलीय दाब $P_0$ हो जाता है। अंतिम अवस्था $B"$ निर्धारित कीजिए। दिखाइए कि $T_{B"}$ और $V_{B"}$ अपने आरंभिक मानों से बड़े हैं या छोटे।
आने-जाने के पूरे प्रक्रम $A\to B'\to B"$ का ऊर्जा-संतुलन कीजिए। समझाइए कि पाठ 6 इस तुलना में क्या जोड़ेगा।

संकेत

आकस्मिक रूपांतरण के लिए

W=-P_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)

और केवल आरंभिक तथा अंतिम साम्य अवस्थाओं में अवस्था समीकरण का उपयोग कीजिए।

B

और

B'

की तुलना के लिए

T_{B'}/T_B

के लघुगणक का अध्ययन किया जा सकता है।

विस्तृत हल

हल

स्मरण रहे कि

c_V=\frac{R}{\gamma-1}

।

प्रश्न 1। अतिरिक्त भार को पर्याप्त छोटे द्रव्यमानों में बाँटा गया है और अगला द्रव्यमान जोड़ने से पहले हर बार नया साम्य प्राप्त हो जाता है: अतः गैस साम्य अवस्थाओं के एक सतत अनुक्रम से गुजरती है और रूपांतरण अर्ध-स्थैतिक है। पिस्टन का द्रव्यमान नगण्य और घर्षण शून्य होने के कारण हर क्षण यांत्रिक साम्य $P\mathcal S=P_{\mathrm{ext}}\mathcal S$ , अर्थात $P=P_{\mathrm{ext}}$ , आरोपित करता है। दीवारें ऊष्मारोधित हैं, अतः $\delta Q=0$ । इन परिस्थितियों में लाप्लास के नियमों का उपयोग किया जा सकता है। $A$ और $B$ के बीच दो उपयोगी रूप हैं

P_0V_0^\gamma=P_BV_B^\gamma, \qquad T_0^\gamma P_0^{1-\gamma}=T_B^\gamma P_B^{1-\gamma}.

चूँकि $P_B=P_1=xP_0$ , पहली संबंध से सीधे $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ मिलता है, जबकि दूसरी से $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ मिलता है। अंततः, $P_B/P_0=x$ , $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ और $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ ।

प्रश्न 2। अतिरिक्त भार को धीरे-धीरे हटाते समय गैस बाहर के साथ यांत्रिक साम्य में रहती है और उसी लाप्लास रुद्धोष्म वक्र का, किंतु विपरीत दिशा में, अनुसरण करती है। अंत में $P_f=P_0$ । तब लाप्लास संबंध देते हैं

T_f =T_B\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} =T_0x^{(\gamma-1)/\gamma}x^{-(\gamma-1)/\gamma} =T_0,

और

V_f =V_B\left(\frac{P_1}{P_0}\right)^{1/\gamma} =V_0x^{-1/\gamma}x^{1/\gamma} =V_0.

अतः गैस ठीक अवस्था $A=(P_0,V_0,T_0)$ में लौट आती है। रूपांतरण को साम्य अवस्थाओं के उसी अनुक्रम से गुजरते हुए दोनों दिशाओं में तय किया जा सकता है: ऐसे रूपांतरण को उत्क्रमणीय कहते हैं।

प्रश्न 3। यहाँ लाप्लास के नियमों का उपयोग नहीं करना चाहिए: इस आकस्मिक रूपांतरण में गैस साम्य अवस्थाओं के किसी अनुक्रम से नहीं गुजरती। विकास के दौरान कार्य में केवल अचर बाह्य दाब $P_1$ आता है: $W_{AB'}=-P_1(V_{B'}-V_0)$ । अंतिम साम्य में $P_{B'}=P_1$ । $P_0V_0=nRT_0$ , $P_1V_{B'}=nRT_{B'}$ , $Q_{AB'}=0$ और $\Delta U_{AB'}=nc_V(T_{B'}-T_0)$ का उपयोग करने पर प्रथम नियम देता है

T_{B'}=T_0\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

मान लें

\theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

तब

P_{B'}=xP_0, \qquad T_{B'}=\theta T_0, \qquad V_{B'}=\frac{\theta}{x}V_0.

प्रश्न 4। पहले $\gamma=5/3$ और $x=2$ का उदाहरण लें। क्रमिक संपीडन $T_B/T_0=2^{2/5}\simeq1{,}32$ देता है, जबकि आकस्मिक संपीडन देता है

T_{B'}/T_0=\theta=[1+(2/3)\times2]/(5/3)=7/5=1{,}40.

इस उदाहरण में आकस्मिक संपीडन गैस को अधिक गर्म करता है। अब दिखाते हैं कि यह परिणाम सामान्य है। मान लें

f(x)=\ln\!\left(\frac{T_{B'}}{T_B}\right) =\ln\!\left(\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}\right) -\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x.

हमारे पास $f(1)=0$ और

f'(x) =\frac{\gamma-1}{1+(\gamma-1)x} -\frac{\gamma-1}{\gamma x} =\frac{(\gamma-1)(x-1)} {\gamma x\,[1+(\gamma-1)x]}

हैं। $\gamma>1$ और $x>1$ के लिए हर-भाग के सभी गुणक धनात्मक हैं और $f'(x)>0$ । अतः $f(x)>f(1)=0$ , इसलिए $T_{B'}/T_B>1$ , अर्थात $T_{B'}>T_B$ । दोनों अवस्थाओं में दाब समान $P_1$ है; इसलिए आदर्श गैस का अवस्था समीकरण $V_{B'}>V_B$ भी आरोपित करता है। आकस्मिक संपीडन गैस को अधिक गर्म करता है, किंतु क्रमिक संपीडन की अपेक्षा उसे कम संपीडित करता है।

प्रश्न 5। अतिरिक्त भार को अचानक हटाने पर बाह्य दाब $P_1$ से $P_0=P_1/x$ हो जाता है। अतः प्रश्न 3 की गणना में दाब अनुपात $x$ को उसके व्युत्क्रम $1/x$ से बदलकर दोहराते हैं। इस प्रकार प्रश्न 3 का परिणाम हो जाता है

\frac{T_{B"}}{T_{B'}} =\frac{1+(\gamma-1)P_0/P_1}{\gamma} =\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}.

मान लें

\phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma},

तब मिलता है

P_{B"}=P_0, \qquad T_{B"}=\theta\phi\,T_0, \qquad V_{B"}=\theta\phi\,V_0.

अब

\theta\phi-1 =\frac{\gamma-1}{\gamma^2} \left(x+\frac1x-2\right).

अध्ययन किए जा रहे क्षेत्र में $x>1$ , अतः $x>0$ और $x+1/x-2=(x-1)^2/x>0$ । चूँकि $\gamma>1$ , वास्तव में $\theta\phi-1>0$ । फलतः,

\boxed{T_{B"}>T_0}, \qquad \boxed{V_{B"}>V_0}.

बाह्य दाब के आने-जाने के बाद भी गैस अवस्था $A$ में नहीं लौटती। यह अंतर अनुत्क्रमणीयता का पहला संकेत है: बाह्य प्रतिबंध को उसके आरंभिक मान पर वापस लाना निकाय को आरंभिक अवस्था में लौटाने के लिए पर्याप्त नहीं है।

प्रश्न 6। आकस्मिक प्रसार रुद्धोष्म है और इसलिए पूरे आने-जाने के प्रक्रम पर

Q_{\mathrm{tot}}=0, \qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}} =nc_VT_0(\theta\phi-1)>0.

बाहरी क्रियाएँ दाब को उसके आरंभिक मान पर वापस लाती हैं, लेकिन गैस ने शुद्ध कार्य प्राप्त किया है और वह अधिक गर्म तथा अधिक प्रसारित रहती है। पाठ 6 इन्हीं अवस्थाओं को फिर लेकर दिखाएगा कि उत्क्रमणीय संपीडन एंट्रॉपी उत्पन्न नहीं करता, जबकि दोनों आकस्मिक रूपांतरणों में से प्रत्येक एंट्रॉपी उत्पन्न करता है।