Exercice corrigé de thermodynamique

La vitesse du son comme coefficient thermodynamique

Exercice 41 · Leçon 8 — Coefficients calorimétriques et thermoélastiques

vitesse du son
compressibilité isentropique
gaz parfait
dérivée partielle
onde acoustique

Énoncé

Une onde sonore comprime et détend rapidement l'air. Les échanges thermiques pendant une période sont négligeables : les petites variations sont donc modélisées comme isentropiques. On admet

c^2=\left(\frac{\partial P}{\partial\rho}\right)_S,

où $c$ est la célérité du son et $\rho$ la masse volumique.

À partir de $P\rho^{-\gamma}=K$ sur une isentropique, calculer $(\partial P/\partial\rho)_S$ .
En utilisant $P=\rho RT/M$ , montrer que $c=\sqrt{\gamma RT/M}$ .
Calculer $c$ à $T=293\,\mathrm K$ pour l'air, avec $\gamma=1{,}40$ et $M=29{,}0\,\mathrm{g\,mol^{-1}}$ .
Quel résultat donnerait à tort une compression isotherme ? Comparer les deux valeurs et expliquer l'origine de l'écart.

Indication

Pour la question 4, utiliser

P\rho^{-1}=\text{constante}

à température fixée, ce qui revient à prendre

\gamma=1

Solution détaillée

Solution

1. Sur une isentropique,

P=K\rho^\gamma

. En dérivant à entropie constante,

\left(\frac{\partial P}{\partial\rho}\right)_S =\gamma K\rho^{\gamma-1}=\gamma\frac P\rho.

Donc $c^2=\gamma P/\rho$ .

2. L'équation d'état massique donne

P/\rho=RT/M

. Ainsi

c=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} =\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}.

3. Il faut convertir la masse molaire : $M=2{,}90\times10^{-2}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ . Alors

c=\sqrt{\frac{1{,}40\times8{,}314\times293}{2{,}90\times10^{-2}}} \simeq343\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

4. Le modèle isotherme donnerait

c_T=\sqrt{\frac{RT}{M}} \simeq290\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

Il sous-estime la célérité d'un facteur $\sqrt\gamma$ . Une compression sonore est trop rapide pour évacuer la chaleur produite ; l'élévation de température augmente la pression de rappel et accélère la propagation.