Exercice corrigé de thermodynamique

Les indices ne sont pas optionnels

Exercice 34 · Leçon 7 — Structure formelle : Changements de variables

  • dérivées partielles
  • variables fixées
  • indices
  • isobare
  • isentropique
  • gaz parfait

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

On veut savoir comment varie le volume de NN particules de gaz parfait monoatomique lorsque sa température augmente. La question est incomplète tant qu'on ne précise pas ce qui est maintenu constant.

  1. Calculer (∂V∂T)P,N\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N} (chauffage isobare).
  2. Calculer (∂V∂T)S,N\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{S,N} (évolution isentropique). On pourra travailler en différentielles : que devient le premier principe quand dS=dN=0\mathrm{d}S = \mathrm{d}N = 0 ?
  3. Comparer les deux résultats (signes !) et interpréter physiquement.
  4. Montrer que le rapport des deux dérivées vaut −(γ−1)-(\gamma - 1) et vérifier la cohérence avec la loi de Laplace TVγ−1=csteTV^{\gamma-1} = \text{cste}.

Indication
Question 1 : isoler VV dans PV=NkBTPV = Nk_BT. Question 2 : dU=T dS−P dV=−P dV\mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - P\,\mathrm{d}V = -P\,\mathrm{d}V et dU=32NkB dT\mathrm{d}U = \frac{3}{2}Nk_B\,\mathrm{d}T.

Solution détaillée

Solution
Question 1. À PP et NN fixés, V=NkBT/PV = Nk_BT/P donc (∂V∂T)P,N=NkBP>0\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N} = \dfrac{Nk_B}{P} > 0.

Question 2. À SS et NN fixés, le premier principe donne dU=−P dV\mathrm{d}U = -P\,\mathrm{d}V, et par ailleurs dU=32NkB dT\mathrm{d}U = \tfrac{3}{2}Nk_B\,\mathrm{d}T. Donc

(∂V∂T)S,N=−3NkB2P<0.\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{S,N} = -\frac{3Nk_B}{2P} < 0.

Question 3. La même question — « comment VV varie-t-il avec TT ? » — a deux réponses de signes opposés. À pression constante, chauffer dilate le gaz. À entropie constante (adiabatique réversible), le seul moyen d'augmenter TT est de comprimer le gaz : VV diminue quand TT monte. Sans l'indice précisant la variable fixée, l'expression ∂V/∂T\partial V/\partial T n'a tout simplement pas de sens.

Question 4. En différenciant la loi de Laplace TVγ−1=csteTV^{\gamma-1} = \text{cste} :

Vγ−1 dT+(γ−1)TVγ−2 dV=0  ⟹  (∂V∂T)S,N=−V(γ−1)T=−NkB(γ−1)P,V^{\gamma-1}\,\mathrm{d}T + (\gamma-1)TV^{\gamma-2}\,\mathrm{d}V = 0 \implies \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{S,N} = -\frac{V}{(\gamma-1)T} = -\frac{Nk_B}{(\gamma-1)P},

qui redonne bien −32NkB/P-\tfrac{3}{2}Nk_B/P pour γ=5/3\gamma = 5/3. \checkmark\ Le rapport des deux dérivées vaut donc

(∂V/∂T)P,N(∂V/∂T)S,N=NkB/P−NkB/[(γ−1)P]=−(γ−1)=−23(γ=5/3).\frac{\left(\partial V/\partial T\right)_{P,N}}{\left(\partial V/\partial T\right)_{S,N}} = \frac{Nk_B/P}{-Nk_B/[(\gamma-1)P]} = -(\gamma-1) = -\frac{2}{3} \quad (\gamma = 5/3).