Exercice corrigé de thermodynamique

Gaz de van der Waals : palier de Maxwell

Exercice 51 · Leçon 9 — Transition de phases

  • van der Waals
  • Maxwell
  • palier
  • courbe de saturation
  • titre vapeur
  • transition liquide-gaz

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Une mole de CO2_2 obéit à P=RT/(v−b)−a/v2P = RT/(v-b) - a/v^2 avec R=8,314R = 8{,}314 J·mol−1^{-1}·K−1^{-1}, a=0,364a = 0{,}364 Pa·m6^6·mol−2^{-2}, b=4,27×10−5b = 4{,}27\times10^{-5} m3^3·mol−1^{-1}. À T=280T = 280 K (sous la température critique), l'isotherme présente une zone instable (∂P/∂v>0\partial P/\partial v > 0).

  1. Calculer la température critique Tc=8a/(27Rb)T_c = 8a/(27Rb) et montrer que T=280T = 280 K <Tc< T_c.
  2. On remplace la portion instable par un palier isotherme à PsatP_{sat}. Énoncer la règle des paliers de Maxwell (égalité des aires).
  3. Numériquement, on trouve Psat≈3,4P_{sat} \approx 3{,}4 MPa avec vl≈4,5×10−5v_l \approx 4{,}5\times10^{-5} m3^3·mol−1^{-1} et vg≈1,2×10−3v_g \approx 1{,}2\times10^{-3} m3^3·mol−1^{-1}. Un système de volume molaire vM=3×10−4v_M = 3\times10^{-4} m3^3·mol−1^{-1} est sur le palier : calculer le titre molaire en vapeur xv=(vM−vl)/(vg−vl)x_v = (v_M - v_l)/(v_g - v_l).
  4. Interpréter le palier sur le diagramme (P,v)(P,v).

Indication
Tc=8a/(27Rb)T_c = 8a/(27Rb). Règle des moments : xv=(vM−vl)/(vg−vl)x_v = (v_M - v_l)/(v_g - v_l). Aire Maxwell : ∫vlvg(Psat−P(v)) dv=0\int_{v_l}^{v_g}(P_{sat} - P(v))\,\mathrm{d}v = 0.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Tc=8×0,364/(27×8,314×4,27×10−5)≈304T_c = 8\times0{,}364/(27\times8{,}314\times4{,}27\times10^{-5}) \approx 304 K. Donc 280 K <Tc< T_c : isotherme sous-critique avec loop instable.

Question 2. Maxwell : ∫vlvgP(v) dv=Psat(vg−vl)\int_{v_l}^{v_g} P(v)\,\mathrm{d}v = P_{sat}(v_g - v_l) — l'aire sous la courbe métastable égale celle du rectangle sous le palier.

Question 3. xv=(3×10−4−4,5×10−5)/(1,2×10−3−4,5×10−5)≈0,22x_v = (3\times10^{-4} - 4{,}5\times10^{-5})/(1{,}2\times10^{-3} - 4{,}5\times10^{-5}) \approx 0{,}22 : environ 22 \% en vapeur, 78 \% liquide.

Question 4. À gauche du palier : liquide ; à droite : gaz ; sur le palier : mélange diphasique à Psat(T)P_{sat}(T) constant — construction graphique de la transition de phase dans le modèle VdW.