Exercice corrigé de thermodynamique

Travail maximal fourni par un corps chaud

Exercice 51 · Leçon 9 — Les potentiels thermodynamiques

  • travail maximal
  • énergie libre
  • exergie
  • source finie
  • moteur réversible

Énoncé

Un bloc de capacité thermique totale constante CC est initialement à T1>T0T_1>T_0. On veut le ramener à la température de l'atmosphère T0T_0 tout en récupérant le plus de travail possible. On utilise une succession de moteurs réversibles infinitésimaux entre le bloc, momentanément à TT, et l'atmosphère.

  1. Lorsque le bloc se refroidit de TT à T+dTT+\mathrm dT avec dT<0\mathrm dT<0, écrire la chaleur positive reçue par le moteur.
  2. Écrire le travail élémentaire maximal en utilisant le rendement de Carnot 1−T0/T1-T_0/T.
  3. Intégrer de T1T_1 à T0T_0 et montrer que Wmax⁡=C[(T1−T0)−T0ln⁡ ⁣(T1T0)].W_{\max}=C\left[(T_1-T_0)-T_0\ln\!\left(\frac{T_1}{T_0}\right)\right].
  4. Calculer Wmax⁡W_{\max} pour C=10 kJ K−1C=10\,\mathrm{kJ\,K^{-1}}, T1=500 KT_1=500\,\mathrm K et T0=300 KT_0=300\,\mathrm K. Comparer à la chaleur totale cédée par le bloc.

Indication
Le bloc cède δQmoteur=−C dT>0\delta Q_{\rm moteur}=-C\,\mathrm dT>0.

Solution détaillée

Solution
1. La variation d'énergie du bloc vaut C dT<0C\,\mathrm dT<0. La chaleur positive reçue par le moteur est donc

δQmoteur=−C dT.\delta Q_{\rm moteur}=-C\,\mathrm dT.

2. Le moteur réversible fournit

δWmax⁡=(1−T0T)(−C dT).\delta W_{\max}=\left(1-\frac{T_0}{T}\right)(-C\,\mathrm dT).

3. Pour conserver des bornes croissantes, on écrit

Wmax⁡=C∫T0T1(1−T0T)dT.W_{\max}=C\int_{T_0}^{T_1} \left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm dT.

Une primitive est T−T0ln⁡TT-T_0\ln T. Ainsi

Wmax⁡=C[T−T0ln⁡T]T0T1=C[(T1−T0)−T0ln⁡ ⁣(T1T0)].\begin{aligned} W_{\max} &=C\left[T-T_0\ln T\right]_{T_0}^{T_1}\\ &=C\left[(T_1-T_0)-T_0\ln\!\left(\frac{T_1}{T_0}\right)\right]. \end{aligned}

4.

Wmax⁡=10[200−300ln⁡ ⁣(53)]≃468 kJ.W_{\max}=10\left[200-300\ln\!\left(\frac53\right)\right] \simeq468\,\mathrm{kJ}.

La chaleur totale cédée par le bloc vaut Q=C(T1−T0)=2000 kJQ=C(T_1-T_0)=2000\,\mathrm{kJ}. Seuls environ 23 %23\,\% peuvent devenir du travail ; le reste doit être rejeté à l'atmosphère, même dans la limite réversible.