Exercice corrigé de thermodynamique

Ébullition de l'eau en altitude

Exercice 52 · Leçon 10 — Transition de phases

  • transition de phase
  • Clausius-Clapeyron
  • pression de vapeur saturante
  • altitude
  • chaleur latente

Énoncé

L'eau bout à T0=373,15 KT_0=373{,}15\,\mathrm K sous P0=1,013×105 PaP_0=1{,}013\times10^5\,\mathrm{Pa}. On suppose la chaleur latente massique L=2,26×106 J kg−1L=2{,}26\times10^6\,\mathrm{J\,kg^{-1}} constante, la vapeur parfaite et le volume massique du liquide négligeable devant celui de la vapeur. La constante massique de la vapeur d'eau vaut r=461 J kg−1 K−1r=461\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.

  1. À partir de dP/dT=L/(TΔv)\mathrm dP/\mathrm dT=L/(T\Delta v), établir ln⁡ ⁣(PP0)=−Lr(1T−1T0).\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right) =-\frac{L}{r}\left(\frac1T-\frac1{T_0}\right).
  2. Au sommet du Mont-Blanc, on prend P=0,54P0P=0{,}54P_0. Calculer la température d'ébullition en kelvins puis en degrés Celsius.
  3. Expliquer pourquoi le résultat est un ordre de grandeur et non une table précise de pression de vapeur.

Indication
Pour la vapeur parfaite, vg=rT/Pv_g=rT/P et Δv≃vg\Delta v\simeq v_g. Séparer les variables puis intégrer avec les bornes (T0,P0)(T_0,P_0) et (T,P)(T,P).

Solution détaillée

Solution
1. Avec Δv≃rT/P\Delta v\simeq rT/P, l'équation de Clapeyron devient

dPdT=LPrT2,dPP=LrdTT2.\frac{\mathrm dP}{\mathrm dT} =\frac{LP}{rT^2}, \qquad \frac{\mathrm dP}{P}=\frac{L}{r}\frac{\mathrm dT}{T^2}.

On intègre explicitement :

∫P0PdP′P′=Lr∫T0TdT′T′2.\int_{P_0}^{P}\frac{\mathrm dP'}{P'} =\frac{L}{r}\int_{T_0}^{T}\frac{\mathrm dT'}{T'^2}.

La primitive de 1/T′21/T'^2 est −1/T′-1/T'. Il vient donc

ln⁡ ⁣(PP0)=Lr(−1T+1T0),\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right) =\frac{L}{r}\left(-\frac1T+\frac1{T_0}\right),

ce qui est la relation demandée.

2. On isole 1/T1/T :

1T=1T0−rLln⁡ ⁣(PP0).\frac1T=\frac1{T_0}-\frac rL\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right).

Avec P/P0=0,54P/P_0=0{,}54 et ln⁡(0,54)=−0,616\ln(0{,}54)=-0{,}616,

1T=1373,15−4612,26×106(−0,616)≃2,805×10−3 K−1.\frac1T =\frac1{373{,}15} -\frac{461}{2{,}26\times10^6}(-0{,}616) \simeq2{,}805\times10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}.

Ainsi T≃356,5 KT\simeq356{,}5\,\mathrm K, soit environ 83,3 ∘C83{,}3\,{}^\circ\mathrm C.

3. La chaleur latente varie avec la température, la vapeur n'est pas parfaitement idéale et le volume du liquide n'est pas strictement nul. Ces hypothèses sont raisonnables sur un intervalle modéré, mais une table précise emploie des propriétés dépendant de la température.