Exercice corrigé de thermodynamique

Équation de Clausius-Clapeyron et point d'ébullition en altitude

Exercice 49 · Leçon 9 — Transition de phases

  • transition de phase
  • Clausius-Clapeyron
  • changement d'état
  • pression de vapeur saturante
  • chaleur latente

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

L'eau bout à 100 °C100\,°\text{C} sous la pression atmosphérique P0=1,013×105 PaP_0 = 1{,}013 \times 10^5\,\text{Pa}. Sa chaleur latente de vaporisation est L=2,26×106 J\cdotkg−1L = 2{,}26 \times 10^6\,\text{J·kg}^{-1}.

L'équation de Clausius-Clapeyron donne la pente de la courbe de coexistence liquide-vapeur :

dPdT=LT Δv\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\,\Delta v}

où Δv=vg−vl\Delta v = v_g - v_l est la variation de volume massique. En supposant que la vapeur est un gaz parfait et que vl≪vgv_l \ll v_g :

dPdT≈LPrT2\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} \approx \frac{LP}{rT^2}

où r=R/M=461 J\cdotkg−1K−1r = R/M = 461\,\text{J·kg}^{-1}\text{K}^{-1} est la constante spécifique de la vapeur d'eau.

  1. Montrer que P(T)≈P0exp⁡ ⁣[−Lr ⁣(1T−1T0)]P(T) \approx P_0 \exp\!\left[-\dfrac{L}{r}\!\left(\dfrac{1}{T} - \dfrac{1}{T_0}\right)\right] avec T0=373 KT_0 = 373\,\text{K}.
  2. Au sommet du Mont-Blanc (P≈0,54 P0P \approx 0{,}54\,P_0), à quelle température l'eau bout-elle ?

Indication
Séparer les variables dans l'équation différentielle et intégrer entre T0T_0 et TT. Pour la question 2, inverser la formule pour trouver TT.

Solution détaillée

Solution
1. Séparation des variables : dPP=LrdTT2\dfrac{\mathrm{d}P}{P} = \dfrac{L}{r}\dfrac{\mathrm{d}T}{T^2}.

En intégrant entre T0T_0 (où P=P0P = P_0) et TT :

ln⁡PP0=−Lr ⁣(1T−1T0)  ⟹  P=P0exp⁡ ⁣[−Lr ⁣(1T−1T0)].\ln\frac{P}{P_0} = -\frac{L}{r}\!\left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_0}\right) \implies P = P_0\exp\!\left[-\frac{L}{r}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right].

2. On cherche TT tel que P=0,54 P0P = 0{,}54\,P_0 :

ln⁡(0,54)=−Lr ⁣(1T−1T0)  ⟹  1T=1T0−rln⁡(0,54)L.1T=1373+461×0,6162,26×106≈2,681×10−3+1,256×10−4≈2,806×10−3 K−1.T≈356 K≈83 °C.\ln(0{,}54) = -\frac{L}{r}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right) \implies \frac{1}{T} = \frac{1}{T_0} - \frac{r\ln(0{,}54)}{L}.\frac{1}{T} = \frac{1}{373} + \frac{461 \times 0{,}616}{2{,}26\times10^6} \approx 2{,}681\times10^{-3} + 1{,}256\times10^{-4} \approx 2{,}806\times10^{-3}\,\text{K}^{-1}.T \approx 356\,\text{K} \approx 83\,°\text{C}.

L'eau bout donc à environ 83 °C83\,°\text{C} au sommet du Mont-Blanc — ce qui rend la cuisson des aliments notablement plus longue.