Exercice corrigé de thermodynamique

Travail d'une transformation polytropique $PV^k=\text{cste}$

Exercice 12 · Leçon 4 — Le premier principe de la thermodynamique

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

On considere une transformation quasi-statique d'un gaz parfait telle que $PV^k=\text{cste}$ , $k\in\mathbb{R}$ , $k\neq1$ .

Calculer $W_{A\to B}$ en fonction de $P_A,V_A,P_B,V_B$ et $k$ .
Retrouver le resultat pour une isobare ( $k=0$ ).
Conclure directement pour une isochore sans utiliser la formule generale.
Expliquer pourquoi $k=1$ est exclu, puis retrouver $W=-nRT\ln(V_B/V_A)$ .
Pour $k=\gamma=5/3$ (adiabatique reversible, monoatomique), montrer que $W=\Delta U$ .

Indication

Poser

P(V)=CV^{-k}

avec

C=P_AV_A^k

, integrer, puis utiliser

CV^{1-k}=PV

Solution

Question 1.

W = \frac{P_AV_A - P_BV_B}{1-k}

Question 2. $k=0$ , $P_A=P_B=P$ : $W=P(V_A-V_B)=-P\Delta V$ . \checkmark

Question 3. Isochore : $\mathrm{d}V=0$ a chaque instant, donc $W=0$ . La formule polytropique ne s'applique pas ( $k\to\infty$ ).

Question 4. Pour $k=1$ le facteur $1/(1-k)$ diverge (primitive logarithmique). Avec $PV=nRT=\text{cste}$ :

W = -nRT\ln\!\tfrac{V_B}{V_A}.

Question 5. $k=5/3$ :

W = \tfrac{3}{2}(P_BV_B-P_AV_A) = \tfrac{3}{2}nR(T_B-T_A) = \Delta U.

Coherent avec le premier principe ( $Q=0$ ). \checkmark