Travail d'une transformation polytropique $PV^k=\text{cste}$

Question 1. La relation polytropique s'écrit

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

Le travail reçu par le gaz vaut, avec la convention du banquier,

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

Pour $k\neq1$, une primitive de $V^{-k}$ est $V^{1-k}/(1-k)$. Ainsi,

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Or

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Finalement,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Question 2. Pour $k=0$, la relation $PV^0=C$ devient $P=C$ : la transformation est isobare. Comme $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

On retrouve bien l'expression directe du travail isobare.

Question 3. Pour une transformation isochore, $V_B=V_A$ et $\mathrm{d}V=0$ à chaque instant. Par conséquent,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Une isochore non triviale ne correspond à aucune valeur finie de $k$ : si $V$ est constant, la relation $PV^k=\text{cste}$ imposerait aussi $P$ constant. On peut seulement voir l'isochore comme une limite formelle $k\to\infty$.

Question 4. Pour $k=1$, l'intégrande est proportionnel à $1/V$ : la primitive n'est plus une puissance, mais un logarithme. Il faut donc reprendre l'intégration séparément. La relation polytropique devient

$$PV=C.$$

Pour un gaz parfait fermé, $PV=nRT$ ; la température est donc constante et $C=nRT$. Le travail reçu est alors

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

Pour une compression, $V_B/V_A<1$, donc le logarithme est négatif et $W_{A\to B}>0$, comme attendu.