Exercice corrigé de thermodynamique

Cycle refroidissant rectangulaire ?

Exercice 23 · Leçon 5 — Application au gaz parfait

cycle thermodynamique
cycle rectangulaire
diagramme de Clapeyron
travail
chaleur
aire
gaz parfait
cycle récepteur
machine frigorifique

Énoncé

On considère $n$ moles de gaz parfait monoatomique, avec $U = \frac{3}{2} n R T$ , parcourant quasi-statiquement le cycle rectangulaire antihoraire

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

où $V_{2} > V_{1}$ et $P_{2} > P_{1}$ . On notera

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Représenter le cycle dans le diagramme de Clapeyron $(P, V)$ et préciser la nature de chaque branche.
Calculer le travail reçu sur chacune des quatre branches en fonction de $Δ V$ lorsque celle-ci varie, puis le travail total en fonction de $Δ P$ et $Δ V$ . Retrouver sa valeur à partir de l'aire du rectangle.
Exprimer $Δ U$ et $Q$ sur chaque branche en fonction de $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ et $Δ V$ , en utilisant $Δ P$ sur les isochores et $Δ V$ sur les isobares.
Vérifier que $Δ U_{cycle} = 0$ et $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . Le cycle est-il moteur ou récepteur ? Sur quelles branches le gaz reçoit-il de la chaleur et sur quelles branches en cède-t-il ? Montrer que la chaleur totale cédée par le gaz, $Q_{out} > 0$ , est égale à la chaleur totale qu'il reçoit, $Q_{in} > 0$ , augmentée du travail reçu $W_{cycle}$ .
Exprimer les températures $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ et $T_{D}$ des quatre sommets. Quelle est la plus basse, quelle est la plus haute ? Comment la température du gaz évolue-t-elle le long de chaque branche ? Entre quelles températures le gaz reçoit-il de la chaleur, et entre quelles températures en cède-t-il ?
On voudrait se servir de ce cycle comme d'un réfrigérateur : prélever de la chaleur dans une enceinte froide et la rejeter vers l'air plus chaud de la pièce. Pour qu'un corps reçoive de la chaleur, la source avec laquelle il est en contact doit être plus chaude que lui. Quelles températures doivent avoir les sources qui fournissent de la chaleur au gaz, et celles qui en reçoivent ? Ce cycle peut-il fonctionner comme un réfrigérateur ?
Application numérique : $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L et $V_{2} = 15, 0$ L. Calculer $W$ et $Q$ sur chaque branche, puis $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ et $Q_{out}$ . Calculer enfin les rapports $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ et $T_{D} / T_{A}$ , et conclure.

Indication

Sur une isochore,

n R Δ T = V Δ P

et le travail est nul. Sur une isobare,

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

. Toute fonction d'état retrouve sa valeur initiale à la fin d'un cycle.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Les points

A

B

C

D

sont respectivement en bas à gauche, en bas à droite, en haut à droite et en haut à gauche. Les branches

A \to B

C \to D

sont isobares ;

B \to C

D \to A

sont isochores. Le parcours

A \to B \to C \to D \to A

est antihoraire.

Figure 1. Le cycle rectangulaire isobares–isochores dans le diagramme de Clapeyron.

Question 2. Le travail reçu par le gaz est

W = - \int P_{ext} d V .

Il est nul sur les isochores $B \to C$ et $D \to A$ . Sur les deux isobares,

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Ainsi,

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Cette valeur est bien l'aire du rectangle dans le diagramme de Clapeyron.

Question 3. Pour le gaz parfait monoatomique,

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

Sur une isobare, l'équation d'état donne $n R Δ T = P Δ V_{branche}$ . Par conséquent,

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

Sur une isochore, elle donne $n R Δ T = V Δ P_{branche}$ , d'où

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Enfin, le premier principe $Δ U = Q + W$ , soit $Q = Δ U - W$ , conduit au tableau récapitulatif :

Branche A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Question 4. La somme des variations d'énergie interne est nulle, comme pour toute fonction d'état sur un cycle. Le premier principe impose donc

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

Le gaz reçoit globalement du travail : le cycle est récepteur. D'après le tableau, il reçoit de la chaleur sur $A \to B$ et $B \to C$ , et en cède sur $C \to D$ et $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

En retranchant, avec $P_{2} - P_{1} = Δ P$ et $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ,

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

d'où

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

Sur un cycle, le gaz rejette sous forme de chaleur toute l'énergie qu'il a reçue, chaleur et travail compris.

Question 5. L'équation d'état donne

T = P V / (n R)

en chaque sommet :

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Comme $P_{1} < P_{2}$ et $V_{1} < V_{2}$ , le produit $P V$ est minimal en $A$ et maximal en $C$ : $T_{A}$ est la plus basse température du cycle, $T_{C}$ la plus haute, et $T_{B}$ , $T_{D}$ sont intermédiaires.

Sur l'isobare

A \to B

V

augmente à pression constante, donc

T

croît de

T_{A}

T_{B}

. Sur l'isochore

B \to C

P

augmente à volume constant, donc

T

croît de

T_{B}

T_{C}

. De même,

T

décroît de

T_{C}

T_{D}

sur

C \to D

, puis de

T_{D}

T_{A}

sur

D \to A

. Le gaz reçoit donc de la chaleur pendant que sa température monte de la valeur la plus basse

T_{A}

jusqu'à la plus haute

T_{C}

, et il en cède pendant qu'elle redescend de

T_{C}

T_{A}

. Question 6. Pour recevoir de la chaleur, le gaz doit être en contact avec des sources au moins aussi chaudes que lui ; dans la limite quasi-statique, leur température suit celle du gaz. Les sources qui lui fournissent de la chaleur ont donc des températures qui s'étalent de

T_{A}

jusqu'à

T_{C}

, la température la plus haute du cycle. Inversement, les sources qui reçoivent sa chaleur ont des températures qui s'étalent de

T_{C}

jusqu'à

T_{A}

, la plus basse du cycle. Il n'y a donc pas de côté froid et de côté chaud séparés : le gaz prend de la chaleur à des sources très chaudes et en cède à des sources très froides. Ce cycle ne peut pas servir de réfrigérateur, qui doit prélever la chaleur aux températures les plus basses et la rejeter aux plus hautes. Il reçoit du travail et le restitue intégralement sous forme de chaleur (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), tout en redistribuant de la chaleur entre des sources de températures variées. Un réfrigérateur doit au contraire absorber la chaleur sur les parties les plus froides de son cycle et la rejeter sur les plus chaudes. C'est le cas du cycle de Carnot parcouru en sens inverse, étudié à la leçon 6 : le gaz y reçoit de la chaleur le long de l'isotherme froide et en cède le long de l'isotherme chaude. Il ne suffit donc pas qu'un cycle soit récepteur pour qu'il soit frigorifique. Question 7. Ici

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa et

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Branche A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Ainsi $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ et $Δ U_{cycle} = 0$ . La chaleur reçue vaut $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ et la chaleur cédée $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . Les rapports de températures ne dépendent pas de $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Si la température la plus basse du cycle était celle d'une enceinte froide, par exemple $T_{A} = 270 K$ , le gaz devrait recevoir de la chaleur de sources allant jusqu'à $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . Un tel cycle ne refroidit évidemment pas l'enceinte.