Énoncé

On considère $n$ moles de gaz parfait monoatomique, avec $U=\frac{3}{2}nRT$ , parcourant quasi-statiquement le cycle rectangulaire antihoraire

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

où $V_2>V_1$ et $P_2>P_1$ . On notera

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

On utilise ce cycle récepteur comme modèle de machine frigorifique. Son coefficient de performance frigorifique (COP) est défini par

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

où $Q_f>0$ est la chaleur totale prélevée par le gaz sur les branches où il reçoit de la chaleur, et $W_{\mathrm{cycle}}>0$ le travail net qu'il reçoit.

Représenter le cycle dans le diagramme de Clapeyron $(P,V)$ et préciser la nature de chaque branche.
Calculer le travail reçu sur chacune des quatre branches en fonction de $\Delta V$ lorsque celle-ci varie, puis le travail total en fonction de $\Delta P$ et $\Delta V$ . Retrouver sa valeur à partir de l'aire du rectangle.
Exprimer $\Delta U$ et $Q$ sur chaque branche en fonction de $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $\Delta P$ et $\Delta V$ , en utilisant $\Delta P$ sur les isochores et $\Delta V$ sur les isobares.
Vérifier que $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ et $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ . Le cycle est-il moteur ou récepteur ? Sur quelles branches le gaz reçoit-il de la chaleur et sur quelles branches en cède-t-il ? Interpréter ces échanges en identifiant les sources froides et les sources chaudes : que refroidit-on ici ?
En déduire le COP frigorifique du cycle en fonction de $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ et $V_2$ .
Interpréter physiquement le COP. Pourquoi peut-il être supérieur à 1, contrairement au rendement d'un moteur thermique ?
Application numérique : $P_1=1{,}0$ bar, $P_2=3{,}0$ bar, $V_1=5{,}0$ L et $V_2=15{,}0$ L. Donner $W$ et $Q$ sur chaque branche, puis leurs bilans sur le cycle et le COP.

Indication

Sur une isochore,

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

et le travail est nul. Sur une isobare,

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

et

W=-P\Delta V

. Toute fonction d'état retrouve sa valeur initiale à la fin d'un cycle.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Les points

A

,

B

,

C

et

D

sont respectivement en bas à gauche, en bas à droite, en haut à droite et en haut à gauche. Les branches

A\to B

et

C\to D

sont isobares ;

B\to C

et

D\to A

sont isochores. Le parcours

A\to B\to C\to D\to A

est antihoraire.

Figure 1. Le cycle rectangulaire isobares—isochores dans le diagramme de Clapeyron.

Question 2. Le travail reçu par le gaz est

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

Il est nul sur les isochores $B\to C$ et $D\to A$ . Sur les deux isobares,

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

Ainsi,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

Cette valeur est bien l'aire du rectangle dans le diagramme de Clapeyron.

Question 3. Pour le gaz parfait monoatomique,

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

Sur une isobare, l'équation d'état donne $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ . Par conséquent,

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

Sur une isochore, elle donne $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ , d'où

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

Enfin, le premier principe $\Delta U=Q+W$ , soit $Q=\Delta U-W$ , conduit au tableau récapitulatif :

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Branche} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

Question 4. La somme des variations d'énergie interne est nulle. Le premier principe impose donc

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

Le gaz reçoit globalement du travail : le cycle est récepteur. Il reçoit de la chaleur sur $A\to B$ et $B\to C$ . Sur ces deux branches, il prélève de la chaleur aux sources froides avec lesquelles il est mis en contact : ce sont donc ces sources extérieures (par exemple l'enceinte et les aliments d'un réfrigérateur), et non le gaz cyclique lui-même, que l'on refroidit.

Sur $C\to D$ et $D\to A$ , le gaz cède au contraire de la chaleur aux sources chaudes, par exemple l'air de la pièce. En notant $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ la chaleur totale reçue par ces sources,

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

Le cycle transfère ainsi de la chaleur des sources froides vers les sources chaudes grâce au travail qu'il reçoit.

Question 5. La chaleur prélevée par le gaz vaut

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

On en déduit

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

Question 6. Le COP mesure le gain frigorifique obtenu par rapport au travail investi : un COP égal à $k$ signifie que chaque joule de travail fourni permet de prélever $k$ joules de chaleur aux sources froides.

Contrairement au rendement d'un moteur thermique, le COP n'est pas la fraction d'une énergie reçue qui est convertie en travail. Le gaz reçoit à la fois le travail $W_{\mathrm{in}}$ et la chaleur $Q_f$ prélevée aux sources froides, puis rejette leur somme vers les sources chaudes :

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

Il n'y a donc aucune raison que $Q_f$ soit inférieur à $W_{\mathrm{in}}$ , et le COP peut parfaitement être supérieur à 1 sans contredire la conservation de l'énergie.

Question 7. Ici $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa et $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m $^3$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Branche} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

Ainsi $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J et $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ . La chaleur prélevée vaut

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

alors que la chaleur cédée aux sources chaudes vaut

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

Le coefficient de performance frigorifique est donc

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.